证明: $$\bex \int_0^\infty \frac{\rd x}{1+x^4}=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\rd x=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}. \eex$$ (北京航空航天大学)
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2015-05-11 23:28:22
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$\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2,\quad \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{e}. \eex$$
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$$\bex \vlm{n}\int_0^\infty f(x)|\sin nx|\rd x =\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\rd x. \eex$$
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$\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)
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2015-05-11 23:22:44
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$$\int_0^\infty f\sez{\sex{Ax-\frac{B}{x}}^2}\rd x$$
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2015-05-11 14:34:56
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$\dps{\int_{-1}^1 \frac{\rd x}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}\ (a>1)}.$
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2015-05-11 14:33:20
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计算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.
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$\dps{\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x}$.
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$\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$
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$\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\rd x}{(x^2+2x+2)^n}}$.
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2015-05-11 14:17:24
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