时间复杂度杂谈

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1、关于时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷时的情况。举例，如果一个算法对于任何大小为的输入，它至多需要的时间运行完毕，那么它的渐近时间复杂度是。

2、常用的时间复杂度列表

名称	复杂度类	运行时间（）	运行时间举例	算法举例
常数时间			10	判断一个二进制数的奇偶
反阿克曼时间				并查集的单个操作的平摊时间
迭代对数时间				en:Cole-Vishkin algorithm
对数对数时间				有界优先队列的单个操作[1]
对数时间	DLOGTIME		，	二分搜索
幂对数时间
（小于1次）幂时间		，其中	，	K-d树的搜索操作
线性时间				无序数组的搜索
线性迭代对数时间				Raimund Seidel的三角分割多边形算法
线性对数时间			，	最快的比较排序
二次时间				冒泡排序、插入排序
三次时间				矩阵乘法的基本实现，计算部分相关性
多项式时间	P		，，	线性规划中的en:Karmarkar‘s algorithm，AKS质数测试
准多项式时间	QP			关于有向斯坦纳树问题最著名的近似算法
次指数时间（第一定义）	SUBEXP	，对任意的ε > 0		Assuming complexity theoretic conjectures, BPP is contained in SUBEXP.[2]
次指数时间（第二定义）		2o(n）	2n1/3	Best-known algorithm for integer factorization and graph isomorphism
指数时间	E	2O(n)	1.1n, 10n	使用动态规划解决旅行推销员问题
阶乘时间		O(n!)	n!	通过暴力搜索解决旅行推销员问题
指数时间	EXPTIME	2poly(n)	2n, 2n2
双重指数时间	2-EXPTIME	22poly(n)	22n	Deciding the truth of a given statement in Presburger arithmetic

3、复杂度举例

* O(1) 常数级复杂度，也就是说程序运行的时间与需要处理的数据大小无关。通常把比较大小、加减乘除等简单的运算都当做常数级复杂度。 值得注意的是，在处理大数（二进制下数据长度超过32位或者十进制下超过8位）时，将加减乘除等运算当做常数复杂度不再适用。

* O(log n) 将一个10进制整数转化为2进制整数

* O(n)：判断一个元素是否属于一个大小为n的集合/列表；找出n个数中的最大值；

* O(n * log n) 快速排序法

* O(n^2) 最直白的两两比较然后排序方法，需要n*(n-1)/2次比较，所以是O(n^2)级。

* O(2^n) 列出所有长度为n的0,1字符串之类的穷举计算

* O(n!) 列出n个元素的全排列之类的穷举计算

4、对数时间

若算法的T(n) = O(log n)，则称其具有对数时间。由于计算机使用二进制的记数系统，对数常常以2为底（即log₂ n，有时写作lg n）。然而，由对数的换底公式，log_a n和log_b n只有一个常数因子不同，这个因子在大O记法中被丢弃。因此记作O（log n），而不论对数的底是多少，是对数时间算法的标准记法。

常见的具有对数时间的算法有二叉树的相关操作和二分搜索。

对数时间的算法是非常有效的，因为每增加一个输入，其所需要的额外计算时间会变小。

递归地将字符串砍半并且输出是这个类别函数的一个简单例子。它需要O（log n）的时间因为每次输出之前我们都将字符串砍半。 这意味着，如果我们想增加输出的次数，我们需要将字符串长度加倍。

// 递归输出一个字符串的右半部分
var right = function(str）
{
    var length = str.length;

    // 辅助函数
    var help = function（index）
    {

        // 递归情况：输出右半部分
        if(index < length){

            // 输出从index到数组末尾的部分
            console.log(str.substring(index, length));

            // 递归调用：调用辅助函数，将右半部分作为参数传入
            help(Math.ceil((length + index)/2));
        }

        // 基本情况：什么也不做
    }
    help(0);
}

本文参考的维基百科中对“时间复杂度”的描述。

时间复杂度杂谈

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原文地址：http://www.cnblogs.com/suiying/p/4746619.html