51nod Bash游戏(V1,V2,V3,V4(斐波那契博弈))

const int maxn=1000+100;
int sg[maxn];
bool vis[maxn];
int main()
{
    for(int i=0;i<50;i++)
    {
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        for(int j=0;(1<<j)<=i;j++)
        {
            int s=i-(1<<j);
            vis[sg[s]]=true;
        }
        for(int j=0;;j++)
        {
            if(!vis[j])
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
        printf("%d ",sg[i]);
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
char s[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%s",s);
        int n=strlen(s);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            ans=ans+(s[i]-'0');
        }
        if(ans%3)
        printf("A\n");
        else
        printf("B\n");
    }
    return 0;
}

这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

先看看FIB数列的必败证明：

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

     则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

     则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

    （一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

     对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

     如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

     我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

     所以我们得到，x<1/2*f[k]。

     即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

     即i=k+1时，结论依然成立。

对于不是FIB数，首先进行分解。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap  + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=50;
long long f[50];
int main()
{
    f[1]=1,f[2]=2;
    for(int i=3;i<maxn;i++)
    f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int sign=1;
        for(int i=1;i<maxn;i++)
        {
            if(f[i]>n)
            break;
            if(f[i]==n)
            {
                sign=0;
                break;
            }
        }
        if(sign)
        printf("A\n");
        else
        printf("B\n");
    }
    return 0;
}