BZOJ 3107 CQOI2013 二进制a+b 构造

题目大意：给定$n$位二进制数$a,b,c$，要求重组三个数的各个位，使得$a‘+b‘=c‘$且最小化$c‘$

一个构造题咋这么多人写DP……

不考虑位数限制，显然答案只与三个数中$1$的个数有关
令$x=cnt_a,y=cnt_b,z=cnt_c$，其中$cnt_x$代表$x$中$1$的个数
不妨令$x\geq y$
以下用$x=10,y=5$来举例

若$z=1$，构造方式如下：
$000001111111111$
$011110000000001$
$100000000000000$
证明：显然最低位肯定是$1+1=10$，然后再往上肯定都是单个$1$，构造方式唯一

若$1<z<y$，构造方式如下：
$0001111111111$
$0110000000111$
$1000000000110$
证明：
若最低位为$1+0=1$，则去掉最低位后变成了$(x-1,y,z-1)$或$(x,y-1,z-1)$，二者都需要$x+y-z+1$位，算上最低位有$x+y-z+2$位，而这种构造法只需要$x+y-z+1$位，由数学归纳法可证最低位为$1+0=1$不优
那么最低位为$1+1=10$就确定了。然后……然后自己YY吧我没证出来不过应该是对的，感觉数学归纳法啥的能证

若$z=y$，构造方式如下：
$01111111111$
$00000011111$
$10000011110$
证明：这种构造方式保证$a‘$和$b‘$都是最小的，显然最优

若$y<z\leq x$，构造方式如下：
$01111111111$
$00011111000$
$10011110111$
证明：
显然$c‘$最小$x+1$位
如果想要使$c‘$减小，只能将前面的那些$0$往前挪或将最后一个$0$往前挪
显然前面那些$0$挪不动，只能将最后一个$0$往前挪(比如变成$1001101111$)
这说明最后$z-y$位必须是$1+0=1$
那么去掉最后$z-y$位，问题变成了$(x+y-z,y,y)$
由$y=z$的证明可得这种构造法是最优的

若$x<z<x+y$，构造方式如下：
$0111111111100$
$0111000000011$
$1110111111111$
证明：
显然答案至少$z+1$位，因为$z$个$1-x$个$1$一定会得到$z-x$个$1$，
而$z-x<y$，矛盾
然后位数确定后证明就同上了

若$z=x+y$，构造方式如下：
$000001111111111$
$111110000000000$
$111111111111111$
证明：这个用证明么。。。

然后……就完事了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int Digit(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        ++re,x>>=1;
    return re;
}
int Count(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        x^=x&-x,++re;
    return re;
}
int main()
{
    //freopen("3107.in","r",stdin);
    //freopen("3107.out","w",stdout);
    int x,y,z,limit,ans;
    cin>>x>>y>>z;
    limit=max( max( Digit(x) , Digit(y) ) , Digit(z) );
    x=Count(x);y=Count(y);z=Count(z);
    if(x<y) swap(x,y);
    if(z<=y) ans=((1<<x)-1)+((1<<z)-1|((1<<y-z)-1<<x));
    else if(z<=x) ans=((1<<x)-1)+((1<<y)-1<<z-y);
    else if(z<=x+y) ans=((1<<x)-1<<z-x)+((1<<z-x)-1|((1<<x+y-z)-1<<z+z-x-y));
    else ans=-1;
    if(Digit(ans)>limit) ans=-1;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}