[问题2014S09] 解答
充分性: 先证明对 Jordan 块 \(J_r(1)\) 以及任意的正整数 \(m\), 均有 \(J_r(1)^m\) 相似于 \(J_r(1)\). 设 \(N=J_r(0)\), 则 \(J_r(1)=I+N\). 从而 \[J_r(1)^m=(I+N)^m=I+mN+\sum_{i=2}^mC_m^iN^i,\] 这是一个上三角阵, 主对角线上的元素全为 \(1\), 上次对角线上的元素全为 \(m\geq 1\). 因此 \(J_r(1)^m\) 的特征值全为 \(1\), 且特征值 \(1\) 的几何重数为 \(r-\mathrm{rank}(J_r(1)^m-I)=r-(r-1)=1\), 故 \(J_r(1)^m\) 关于特征值 \(1\) 的 Jordan 块只有一个, 即 \(J_r(1)^m\) 相似于 \(J_r(1)\). 由假设 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0\},\] 故 \(A^m\) 相似于 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1)^m,\cdots,J_{r_k}(1)^m,0,\cdots,0 \},\] 从而相似于 \[\mathrm{diag}\{J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0\}.\] 因此对任意正整数\(m\), \(A^m\) 相似于 \(A\).
必要性: 先证明 \(A\) 的特征值只能是 \(1\) 或 \(0\). 设 \(A\) 的全体特征值为 \(S=\{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \}\), 则 \(A^m\) 的全体特征值为 \(S^m=\{\lambda_1^m,\lambda_2^m,\cdots,\lambda_n^m\}\). 由假设 \(A\) 与 \(A^m\,(m\geq 1)\) 相似, 因此 \(S\) 与 \(S^m\,(m\geq 1)\) 作为集合 (其中元素计重数但不计次序) 是相同的. 对于任一 \(\lambda_i\), 注意到 \(\{\lambda_i,\lambda_i^2,\cdots\}\) 都是 \(A\) 的特征值, 但 \(A\) 的特征值只有 \(n\) 个, 故存在正整数 \(r>s\) 使得 \(\lambda_i^r=\lambda_i^s\), 从而 \(\lambda_i=0\) 或者 \(\lambda_i^{r-s}=1\). 因此对任意的 \(1\leq i\leq n\), 或者 \(\lambda_i=0\), 或者存在正整数 \(m_i\) 使得 \(\lambda_i^{m_i}=1\). 令 \(M=\mathrm{lcm}\{m_i\,|\,\lambda_i\neq 0\}\), 则 \[S=S^M=\{\lambda_1^M,\lambda_2^M,\cdots,\lambda_n^M\}=\{1,\cdots,1,0,\cdots,0\}.\] 设 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),J_{r_{k+1}}(0),\cdots,J_{r_s}(0)\},\] 其中 \(1\leq k\leq s\). 取 \(N=\max\{r_{k+1},\cdots,r_s\}\), 则由充分性的证明知, \(A^N\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0\}.\] 因为 \(A\) 与 \(A^N\) 相似, 故\(A\) 的 Jordan 标准型也为 \[\mathrm{diag}\{J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0\}. \quad\Box\]
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