动态规划理解

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参看文章：通过金矿模型介绍动态规划，

原文写的非常通俗易懂，我只是按自己的理解总结一下。

01背包问题

有10件物品，编号为0-9，第i件物品的体积为weight[i]，价值为value[i]。如果有一个背包，容量为s。选取哪些物品装进背包里能使背包的装的东西总价值最大？

因为物品不能拆分，要么整个装，要么整个都不装，所以是01问题。

按平均价值是错误的

看到这个问题，可能首先会想到算每个物品的平均价值，先选平均价值最大的。但是这样算是错的。举个粒子：要把下面3个物品（体积，价值，平均价值）装容量为10的背包：

　　物品A(3, 60，20), 物品B(4, 70，17.5), 物品C（5，80, 16）

　　按平均价值算：最大平均价值算会选A,B 为 130 ，很显然这是错的。最大价值应该选B,C 150。

如果不是0-1问题，比如物品是一堆糖，一堆盐，是可以拆分，才能用平均价值计算。

暴力遍历组合

最简单粗暴的方法就是遍历所有可能的组合。每个物品都有两种选择：装或者不装。 n件物品总共就有 2ⁿ 种组合。

动态规划

再看看另一种思路， 我们把从i件物品中选择若干件放入容量为j的背包后的最大价值记为f(i,j)。假如背包的容量为20，物品为10件（编号从0-9），我们的任务就是要计算出 f(10,20)。

　　先看最后一个物品（编号9，假如体积为3，价值为5），有两种选择：装 或者 不装。 

　　(1).如果选择装，并且装得下。那么背包现价值为 5， 背包还能在剩余的9个物品中装进体积为17的东西（20-3）。    背包总价值为：5+f(9,20-3)

　　(2).如果不装，那么背包现价值为0， 背包还能在剩余的9个物品中装进体积为20的东西。　　背包总价值为：f(9, 20)

　　再从这两种选择中选取总价值最大的那一种，f(10, 20)= max{ f(9,20-3)+5,  f(9,20)  }。

　　这里还有另外一种情况：如果选择装，但是发现根本装不下，没办法就只能选择不装了，变成了情况(2)。那么最大总价值就是不装的最大总价值 f(10,20)=f(9,20)

 这个式子中有两个递归的子问题f(9,17)和f(9,20)。要得到f(10,20)的结果，还得继续算这俩子问题的结果。但是我们发现这俩个子问题和主问题完全是一个套路。比如说f(9,17)，不就是在剩下的9个物品中选择一些装进容量为17的背包后的最大价值嘛。也按上面的套路来算好了。

　　算f(9,17)。看剩下的这9个物品中的最后一个（也就是8号物品，假如体积为2，价值为3），也是两种选择：装 或者 不装。

　　(1).如果选择装，并且装得下。那么背包现价值为 3， 背包还能在剩余的8个物品中装进体积为15的东西（17-2）。    背包最后的总价值为：3+f(8,17-2)。 

　　(2).如果不装，那么背包现价值为0， 背包还能在剩余的8个物品中装进体积为17的东西。　　背包最后的总价值为：f(8, 20)。

　　再从这两种选择中选取总价值最大的那一种，f(9, 17)= max{ f(8,17-2)+3,  f(8,17)  }。 又冒出两个更小点的子问题，还得继续往下算。。。

总结一下从i件物品中选择若干件放入容量为j的背包后的最大价值的递归的公式（背包状态转换方程）：

　　f(i,j)=max { f(i-1, j-weight(i))+ value(i),   f(i-1, j) } ;   条件  weight(i)<=j

　　决策装不装第i个物品的时候另一种情况，如果weight(i)>j，也就是这件物品根本就装不进背包，我们就不考虑能装它的情况啦，背包的最大总价值就是不装该物那种情况的最大总价值。

　　f(i,j)= f(i-1,j)   ; 条件 weight(i)>j

递归的子问题在一点点变小，很容易想到，最后一定终结在下面两种情况之一：

　　（1）把全部物品都检查看了一遍了，已经没有物品了。 自然有 价值f(0, c)=0

　　（2）还有物品，但是背包已经满了。 f(i, 0)=0。

其实也可以更早一点终结： 到只剩下一件物品(编号0)的时候，看还有多大空间的背包（j）。如果j>=weight(0)，那么价值就是value(0),  如果j<weight(0)，那么价值就是0。

如果直接这样计算，每个问题都划分成两个更小的问题。时间复杂度也是在O(2ⁿ)级别。 但实际上有很多f(i,j)值会反复计算多次，可以进一步优化让每个f(i,j)值只计算一次然后保存，以后就不需要再重复计算。然后，复杂度就变成了总共会有多少个子问题f(i,j)需要计算了。理论上说i可以取值0...i，j可以取值0...j，总共i*j+i+j+1种组合，子问题规模为O(ij)。但是很显然，实际的问题数量会远远小于这个理论值。

一般来说动态规划所需要的时间为 T=O(questingCount * chooseCount)。   questingCount（就是前面所说子问题的数量）= 可选对象的数量 * 资源总量。 chooseCount为每个子问题可以进行的选择数。背包问题中，一个物品要么装要么不装，所有chooseCount=2。

动态规划的特点（满足这些特点的问题就可以使用动态规划的思想）：

• 最优子结构：如果一个母问题可以分成几个子问题，确定了最优的子问题那么母问题也就是最优的。
• 子问题重叠：母问题和子问题属于相同的模式，可以用同一个迭代式表示，不同点仅仅是参数。
• 子问题独立：一个母问题的多个子问题只会选择一个作为实施方案，一般是相互独立的，不会互相影响。
• 边界：问题逐渐变小，一定要能到达一个终止条件，也就是边界，否则就成死循环了。
• 缓存中间数据，避免重复计算，可以极大优化性能。

题目一：买书

       有一书店引进了一套书，共有3卷，每卷书定价是60元，书店为了搞促销，推出一个活动，活动如下：

       如果单独购买其中一卷，那么可以打9.5折。

       如果同时购买两卷不同的，那么可以打9折。

       如果同时购买三卷不同的，那么可以打8.5折。

       如果小明希望购买第1卷x本，第2卷y本，第3卷z本，那么至少需要多少钱呢？（x、y、z为三个已知整数）。

动态规划理解

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原文地址：http://www.cnblogs.com/pixy/p/4748080.html