利用矩阵求斐波那契数列

利用矩阵求斐波那契数列

flyfish 2015-8-27
矩阵（matrix）定义

一个m*n的矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字符号或者数学式.

形如

$$\begin{Bmatrix} a & b\\ c & d \end{Bmatrix}$$ 的数表称为二阶矩阵，它由二行二列组成，其中a,b,c,d称为这个矩阵的元素。

形如

$$\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix}$$
的有序对称为列向量Column vector

设

$$\begin{equation*}A=\begin{Bmatrix} a & b\\ c & d \end{Bmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*}X=\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix} \end{equation*}$$
则 $$\begin{equation*}Y= \begin{Bmatrix} ax_1+bx_2\\ cx_1+dx_2 \end{Bmatrix} \end{equation*}$$
称为二阶矩阵A与平面向量X的乘积，记为AX=Y

斐波那契(Fibonacci)数列

从第三项开始，每一项都是前两项之和。
$F_n$=$F_n$ $_-$ $_1$ +$F_n$ $_-$ $_2$, $n\geqslant 3$

把斐波那契数列中 相邻的两项$F_n$和$F_n$ $_-$ $_1$写成一个2$\times$1的矩阵。
$F_0=0$
$F_1=1$

$$\begin{equation*} \begin{Bmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{Bmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} =\begin{Bmatrix}F_{n-1}+F_{n-2}\\F_{n-1}\end{Bmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} =\begin{Bmatrix}1\times F_{n-1}+1\times F_{n-2}\\1\times F_{n-1}+0\times F_{n-2}\end{Bmatrix} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} =\begin{Bmatrix}1&1\\1&0\end{Bmatrix}\times\begin{Bmatrix}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{Bmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} =\begin{Bmatrix}1&1\\1&0\end{Bmatrix}^{n-1}\times\begin{Bmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{Bmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} =\begin{Bmatrix}1&1\\1&0\end{Bmatrix}^{n-1}\times\begin{Bmatrix}1\\0\end{Bmatrix} \end{equation*}$$

求F(n)等于求二阶矩阵的n - 1次方，结果取矩阵第一行第一列的元素。