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$\bf命题1：$设$f\left( x \right) \in {C^1}\left( { - \infty , + \infty } \right)$，令

证明：对任意$x \in \left[ {a,b} \right] \subset \left( { - \infty , + \infty } \right)$，有${f_n}\left( x \right)$一致收敛于$f‘\left( x \right)$

证明：由$f\left( x \right) \in {C^1}\left( { - \infty , + \infty } \right)$知，$f‘\left( x \right) \in C\left[ {a,b}
\right]$，则

由$\bf{Cantor定理}$知，$f‘\left( x \right)$在$\left[ {a,b} \right]$上一致连续，即对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x,y \in \left[ {a,b} \right]$满足$\left| {x - y} \right| < \delta $时，有

由微分中值定理知，存在${\xi _n} \in \left( {x,x + \frac{1}{n}} \right)$，使得

从而有

$\bf注1：$$N$的取值由不等式${\left| {x - {\xi _n}} \right| < \delta }$放缩得到

$\bf注2：$由于$f‘\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty } \right)$，所以

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ly758241/p/3706461.html