BZOJ 3129 [Sdoi2013]方程 不定方程解的个数+组合数取模

题意:链接

方法:不定方程解的个数+组合数取模

解析:

先看n1与n2的部分的限制。

对于后半部分的限制来说，我们直接减去$A_{n1+i}-1$就可以转化一下求正整数解。

但是前半部分呢？

跟上一道猴子那个很像。

所以我们容斥搞就行了。

但是这道题好像不好写的地方不在这？

这题TMD不就是礼物吗！

大组合数取模如何取？

请参见我《BZOJ 礼物》的题解。

另外吐槽题干

明明是X1+X2+…+Xn=m

并不是小于等于

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 21
#define pa pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[N];
ll t,p,tot;
ll prime[N],mod[N],num[N],ans[N];
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &gcd)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0,gcd=a;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x,gcd);
    y=y-a/b*x;
}
ll get_inv(ll n,ll m)
{
    ll x,y,gcd;
    exgcd(n,m,x,y,gcd);
    //(x/gcd%(m/gcd)+m/gcd)%(m/gcd)
    //gcd==1
    return (x%m+m)%m;
}
ll quick_my(ll x,ll y,ll MOD)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void getp()
{
    int x=p;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            prime[++tot]=i,mod[tot]=1,num[tot]=0;
            while(x%i==0)
            {
                x/=i,mod[tot]*=i,num[tot]++;
            }
        }
    }
    if(x!=1)
    {
        prime[++tot]=x,mod[tot]=x,num[tot]=1;
    }
}
ll crt()
{
    ll ret=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {

        ret=(ret+p/mod[i]*get_inv(p/mod[i],mod[i])%p*ans[i])%p;
    }
    return ret;
}
pa get_factor(ll x,ll pri,ll Mod)
{
    ll ans=1;
    if(x==0||x==1)return mp(0,1);
    ll cnt_circle=x/Mod,cnt_pri=x/pri;
    if(cnt_circle!=0)
    {
        for(int i=2;i<Mod;i++)
        {
            if(i%pri!=0)
                ans=(ans*(ll)i)%Mod;
        }
        ans=quick_my(ans,cnt_circle,Mod);
    }
    for(int i=cnt_circle*Mod+1;i<=x;i++)
    {
        if(i%pri!=0)
            ans=(ans*(ll)i)%Mod;
    }
    pa tmp=get_factor(cnt_pri,pri,Mod);
    return mp(cnt_pri+tmp.fi,ans*tmp.se%Mod);
}
ll get_C(ll n,ll m,int k)
{
    if(m==0)return 1;
    pa tmp=get_factor(n,prime[k],mod[k]),tmp1=get_factor(m,prime[k],mod[k]),tmp2=get_factor(n-m,prime[k],mod[k]);
    return quick_my(prime[k],tmp.fi-tmp1.fi-tmp2.fi,mod[k])*tmp.se%mod[k]*get_inv(tmp1.se,mod[k])%mod[k]*get_inv(tmp2.se,mod[k])%mod[k];
}
ll calc(ll n,ll m)
{
    if(n==m||m==0)return 1;
    if(n<m)return 0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)ans[i]=get_C(n,m,i);
    return crt();
}
ll ANS;
ll n,n1,n2,m;
void dfs(int now,ll cnt,ll sum)
{
    if(now==n1+1)
    {
        if(cnt%2==0)ANS=(ANS+calc(m-sum-1,n-1))%p;
        else ANS=((ANS-calc(m-sum-1,n-1))%p+p)%p;
        return;
    }
    dfs(now+1,cnt,sum);
    dfs(now+1,cnt+1,sum+a[now]);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&t,&p);
    getp();
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&n1,&n2,&m);
        for(int i=1;i<=n1;i++)scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n2;i++)
        {
            ll x;
            scanf("%lld",&x);
            m=m-x+1;
        }
        if(m<=0){puts("0");continue;}
        ANS=0;
        dfs(1,0,0);
        printf("%lld\n",ANS);
    }
}