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在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线, 又称贝赛尔曲线（Bézier曲线）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
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给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：
。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：
。现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即
。例如
：
。如上公式可如下递归表达： 用
表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则
用平常话来说，阶的贝塞尔曲线，即双
阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有
即多项式
又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。
点Pi称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以Pn终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
时，分成四段的贝塞尔曲线，可以小于千分之一的最大半径误差近似于圆）。 |
| 线性贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1] |
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：
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| 二次贝塞尔曲线的结构 | 二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1] |
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构：
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| 三次贝塞尔曲线的结构 | 三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1] |
对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点S0、S1所建构：
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| 四次贝塞尔曲线的结构 | 四次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1] |
（还可参阅五阶贝塞尔曲线的构成。）
n次贝塞尔曲线可以转换为一个形状完全相同的n+1次贝塞尔曲线。 这在软件只支援特定阶次的贝塞尔曲线时很有用。 例如，Cairo只支援三次贝塞尔曲线，你就可以用升阶的方法在Cairo画出二次贝塞尔曲线。
我们利用
这个特性来做升阶。我们把曲线方程式中每一项
都乘上 (1 − t) 或 t，让每一项都往上升一阶。以下是将二阶升为三阶的范例
对任何的n值，我们都可以使用以下等式
式中
和 
可以任意挑选。
因此，新的控制点为[1]
贝塞尔曲线被广泛地在计算机图形中用来为平滑曲线建立模型。
二次和三次贝塞尔曲线最为常见
下列程式码为一简单的实际运用范例，展示如何使用C标出三次方贝塞尔曲线。注意，此处仅简单的计算多项式系数，并读尽一系列由0至1的t值；实践中一般不会这么做，递归求解通常会更快速——以更多的内存为代价，花费较少的处理器时间。不过直接的方法较易于理解并产生相同结果。以下程式码已使运算更为清晰。实践中的最佳化会先计算系数一次，并在实际计算曲线点的循环中反复使用。此处每次都会重新计算，损失了效率，但程式码更清楚易读。
曲线的计算可在曲线阵列上将相连点画上直线——点越多，曲线越平滑。
在部分架构中，下以程式码也可由动态规划进行最佳化。举例来说，dt是一个常数，cx * t则等同于每次反复就修改一次常数。经反复应用这种最佳化后，循环可被重写为没有任何乘法（虽然这个过程不是稳定数值的）。
/*
產生三次方貝茲曲線的程式碼
*/
typedef struct
{
float x;
float y;
}
Point2D;
/*
cp在此是四個元素的陣列:
cp[0]為起始點，或上圖中的P0
cp[1]為第一個控制點，或上圖中的P1
cp[2]為第二個控制點，或上圖中的P2
cp[3]為結束點，或上圖中的P3
t為參數值，0 <= t <= 1
*/
Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
{
float ax, bx, cx;
float ay, by, cy;
float tSquared, tCubed;
Point2D result;
/*計算多項式係數*/
cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
/*計算位於參數值t的曲線點*/
tSquared = t * t;
tCubed = tSquared * t;
result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
return result;
}
/*
ComputeBezier以控制點cp所產生的曲線點，填入Point2D結構的陣列。
呼叫者必須分配足夠的記憶體以供輸出結果，其為<sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/
void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve )
{
float dt;
int i;
dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );
for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
}
另一种贝塞尔曲线的应用是在动画中，描述物件的运动路径等等。此处，曲线的x、y位置不用来标示曲线，但用来表示图形位置。当用在这种形式时，连续点之间的距离会变的更为重要，且大多不是平均比例。点将会串的更紧密，控制点更接近每一个点，而更为稀疏的控制点会散的更开。如果需要线性运动速度，进一步处理时就需要循所需路径将点平均分散。
有时我们可能想要把贝塞尔曲线表示为多项式，而非比较不直接的伯恩斯坦多项式。使用二项式定理和贝塞尔曲线的定义，重新整理后可以得到：
此处
计算曲线上的点时需要多次计算
，因此事先计算好
会比较实际；然而要小心高阶曲线可能会缺乏数值稳定性（需使用De Casteljau算法来处理）。注意其empty product为1。
有理贝塞尔增加可调节的权重，以提供更近似于随意的形状。分子是加权的伯恩斯坦形式贝塞尔曲线，而分母是加权的伯恩斯坦多项式的总和。
给定n + 1控制点Pi，有理贝塞尔曲线可如下描述：
或简单的
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原文地址：http://www.cnblogs.com/khzide/p/4768098.html
