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看到电视里讲 999＊999 的口算方法： 先去掉一个 ９ ， 得到 ９９， 然后后面写个８， 然后 ８ 前面有几个 ９， 后面就写几个 ０， 最后加个１， 得到 ９９８００１． 敏感的我一看就其中肯定是从计算法则中挖掘的规律。而且没有这么复杂。请看
９９９＊９９９ ＝（１０００－１）^2 = 1000*1000 - 2*1000 + 1 = (1000-2) * 1000 + 1*1
因此更简单的口诀是： 前面写个 ９９８， 后面写个 ００１． 前面有几个数， 后面就有几个数。
不信， 你算算， ９９９９９９９＊９９９９９９９ ＝ ９９９９９９８００００００１
依次类推， ９９９７ × ９９９７ ＝ ９９９４０００９
９９８８ × ９９８８ ＝ ９９７６０１４４
你找到口诀了吗？ ９９ＸＸ 距离 １００００ 假设是 Ｎ ， 那么 最终的得数是 （９９ＸＸ－Ｎ）【前半部分】（Ｎ×Ｎ）【后半部分】。 其中前后部分的数位相同。 因此， 会出现“数越大反而越好算”的“奇怪”规律。
同理， 可以计算 ９９９６６ × ９９９６６ ＝ ９９９３２０１１５６ 其中 ９９９３２ ＝ ９９９６６ － （１０００００－９９９６６） , 1156 = 34*34
计算原理： 99XX * 99XX＝ (10000 - Ｎ) ^2 = (N-10000)^2 = (10000-2N)×10000 + N*N = ((10000-N)-N)*10000+N*N
注意到 只要9的数目大于或等于非９的数目，就可以使用这个方法快速计算出平方数
这样， 你就可以将高位数的平方转化为低位数的平方。对于高位数来说， 你所需要的只是加减法和保持数位相同。
对于两位数的平方， 上面的规律依然适用。 比如 86*86 = [86-14]00 + 14*14 = 7396 这样的话，需要熟悉低位数的平方。
1. 首先， 个位数为５的平方非常好算。 低两位总是２５， 高两位是十位数×（十位数＋１）
比如， 45*45 = (4*5)25 = 2025， 65*65 = (6*7)25=4225
计算原理： (A*10 + 5)^2 = A*A*100 + 100A + 25 = A(A+1)*100 + 25
2. 其次， 可以通过容易计算的数的平方来推导所要计算的数的平方: a*a = b*b + (a+b)(a-b)
相邻的两个数的平方之差等于两个数的和： (A*10+B+1)^2 - (A*10+B)^2 = (A*10+B)(A*10+B+1)
11*11 = 121, 12*12 = 144, 13*13 = 169 , 14*14 = 169 + (13+14) = 196 , 15*15 = 225, 16*16 = 225 + 31 = 256
据此，可以推导任意数的平方， 只要能够对加减法快速口算。
(A*10+B)^2 － (A*10+D)^2 = [((A*10+B) + (A*10+D) ] * (B-D)
34*34 = 30*30 + 4*64 = 1156 或者 34*34 = 35*35 - (34+35) = 1225 - 69 = 1156
78*78 = 75*75 + 3*153 = 5625 + 459 = 6084 或者 78*78 = 6400 - 2*158 = 6084
离５比较近的就使用Ｘ５作为临近数，离０比较近的就使用Ｘ０作为临近数。
两位数的平方还有一种奇淫巧计(需要三位数加法快速口算)：
78 * 78 = (7*7)(8*8) + 2*7*8*10 = 4964 + 1120 = 6084 = (496+112)*10 + 4
? 67*67 = 3649 + 840 = 4489 = (364+84)*10 + 9
计算原理： (A*10+B)*(A*10+B) = (A*A*100 + B*B) + 20AB = [A*A][B*B] + 20AB
= 10*[10A*A+(B*B-x)/10 + 2AB] + x
x 是 B*B 的个位数。
这样， 就解决了两位数平方的口算或巧算问题。
三位数的平方（高位数加法+两位数平方）：
(100A+10B+C)^2 = 100*(10A+B)^2 + (10B+C)^2 + (2AC-B*B)*100
764*764 = 76*76 *100 + 64*64 + (56-36)*100 = 577600 + 4096 + 2000 = 583696
总之， 任何口算或巧算， 其实都有一个计算公式在后面支撑。 而这个计算公式无非是将各个计算项进行重组， 使得更容易口算或巧算得到数位的数字。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/lovesqcc/p/4769773.html
