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对于一棵普通的二叉查找树而言，在进行多次的插入或删除后，容易让树失去平衡，导致树的深度不是O(logN)，而接近O(N),这样将大大减少对树的查找效率。一种解决办法就是要有一个称为平衡的附加的结构条件：任何节点的深度均不得过深。有一种最古老的平衡查找树，即AVL树。
AVL树是带有平衡条件的二叉查找树。平衡条件是每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树（空树的高度定义为-1）。相比于普通的二叉树，AVL树的节点需要增加一个变量保存节点高度。AVL树的节点声明如下：
typedef struct TreeNode *AvlTree; typedef struct TreeNode *Position; struct TreeNode { int Data; AvlTree Left; AvlTree Right; int Height; //保存节点高度 };
只有一个节点的树显然是AVL树，之后我们向其插入节点。然而在插入过程中可能破坏AVL树的特性，因此我们需要对树进行简单的修正，即AVL树的旋转。
设a节点在插入下一个节点后会失去平衡，这种插入可能出现四种情况：
1. 对a的左儿子的左子树进行一次插入。（左-左）
2. 对a的左儿子的右子树进行一次插入。（左-右）
3. 对a的右儿子的左子树进行一次插入。（右-左）
4. 对a的右儿子的右子树进行一次插入。（右-右）
情形1和4，情形2和3分别是关于A节点的镜像对称，故在理论上是两种情况，而编程具体实现还是需要考虑四种。
单旋转--情形1和4：
双旋转--情形2和3：
情形2和3就是向上图中的子树Y插入一个节点，由上图可知，无论是左单旋还是右单旋都无法改变子树Y的高度。解决办法是再将子树Y分解成根节点和相应的左子树和右子树，然后对相应的节点做相应的旋转，如下图：
下面一个题即是考察AVL树的旋转：题目来源：http://www.patest.cn/contests/mooc-ds/04-%E6%A0%914
An AVL tree is a self-balancing binary search tree. In an AVL tree, the heights of the two child subtrees of any node differ by at most one; if at any time they differ by more than one, rebalancing is done to restore this property. Figures 1-4 illustrate the rotation rules.
Now given a sequence of insertions, you are supposed to tell the root of the resulting AVL tree.
Input Specification:
Each input file contains one test case. For each case, the first line contains a positive integer N (<=20) which is the total number of keys to be inserted. Then N distinct integer keys are given in the next line. All the numbers in a line are separated by a space.
Output Specification:
For each test case, print ythe root of the resulting AVL tree in one line.
Sample Input 1:
5 88 70 61 96 120
Sample Output 1:
70
Sample Input 2:
7 88 70 61 96 120 90 65
Sample Output 2:
88
题目大意是先输入一个整数N，然后依次输入N个节点的值，以此建立AVL树，最后输出AVL树的根节点的值。
代码如下：
#include <cstdio> #include <cstdlib> typedef struct TreeNode *AvlTree; typedef struct TreeNode *Position; struct TreeNode { int Data; AvlTree Left; AvlTree Right; int Height; }; AvlTree Insert(int x, AvlTree T); //插入新节点，必要时调整 Position SingleRotateWithLeft(Position a); //左单旋 Position SingleRotateWithRight(Position b); //右单旋 Position DoubleRotateWithLeft(Position a); //左右旋 Position DoubleRotateWithRight(Position b); //右左旋 int Max(int x1, int x2); //返回两个int中较大的 int Height(Position P); //返回一个节点的高度 int main() { int n, x; AvlTree T = NULL; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d", &x); T = Insert(x, T); } printf("%d\n", T->Data); //打印根节点的值 return 0; } AvlTree Insert(int x, AvlTree T) { if (T == NULL) { T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct TreeNode)); T->Data = x; T->Left = T->Right = NULL; T->Height = 0; } else if (x < T->Data) //向左子树插入 { T->Left = Insert(x, T->Left); if (Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2) //需调整 { if (x < T->Left->Data) T = SingleRotateWithLeft(T); else T = DoubleRotateWithLeft(T); } } else if (x > T->Data) //向右子树插入 { T->Right = Insert(x, T->Right); if (Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2) //需调整 { if (x > T->Right->Data) T = SingleRotateWithRight(T); else T = DoubleRotateWithRight(T); } } /*else值为x的节点已经存在树中，无需插入*/ /*更新节点高度*/ T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1; return T; } Position SingleRotateWithLeft(Position a) { Position b = a->Left; a->Left = b->Right; b->Right = a; //更新a, b节点高度 a->Height = Max(Height(a->Left), Height(a->Right)) + 1; b->Height = Max(Height(b->Left), Height(b->Right)) + 1; return b; /*新的根节点*/ } Position SingleRotateWithRight(Position b) { Position a = b->Right; b->Right = a->Left; a->Left = b; //更新a,b节点高度 a->Height = Max(Height(a->Left), Height(a->Right)) + 1; b->Height = Max(Height(b->Left), Height(b->Right)) + 1; return a; /*新的根节点*/ } Position DoubleRotateWithLeft(Position a) { a->Left = SingleRotateWithRight(a->Left); return SingleRotateWithLeft(a); } Position DoubleRotateWithRight(Position b) { b->Right = SingleRotateWithLeft(b->Right); return SingleRotateWithRight(b); } int Max(int x1, int x2) { return (x1 > x2) ? x1 : x2; } int Height(Position P) { if (P == NULL) //空节点高度为-1 return -1; return P->Height; }
需要注意的细节是我们需要快速得到一个节点（包括空节点）的高度，所以我们需要些一个函数来处理空节点（空指针）的情况，而不是简单的Position->Height。
04-树4. Root of AVL Tree-平衡查找树AVL树的实现
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原文地址：http://www.cnblogs.com/llhthinker/p/4770099.html
