DP POJ1160

题意：

题目链接
　　有一排村庄，坐标表示村庄的位置。如（1、4、6、10）表示：在这几个点有村庄。现在要在这一排村庄中建立邮局，使得其它村庄到他们最近邮局的距离总和最小。
其中邮局有V个（V<=300），邮局有P个（P<=30）。问怎么设置邮局位置，求出最小距离。

解法：

1.表示方法

• dp[$i$][$j$] : 表示前 $i$ 个村庄 建 $j$ 个邮局时距离最小值。
• sum$[i][j]$: 表示第 $i$ 个村庄到第 $j$ 个村庄建一个邮局的最小距离。

2. 递推公式的由来

这个题目有点类似于矩阵连乘问题。要求$dp[i][j]$，假设从$k$位置断开，前 $k$ 个村庄建 $j-1$个邮局，后面$k+1$ 到 $i$ 建一个邮局，然后求出断开位置使$dp[i][j]$ 最小。所以递推关系式如下：

• $dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + sum[k+1][i])$;

3.$sum[i][j]$的递推

在$i$ 和 $j$之间建一个邮局，显然建在中位数的村庄位置时最小。因为题中村庄的位置已经从小到大排好序，因此只要求出中位数村庄即可（这里与村庄的位置大小无关）。

• 如果村庄有奇数个，比如有三个村庄：$x_1, x_2, x_3$， $x_1到x_2的距离为s_1, x_2到x_3的距离为s_2$, 显然建在$x_2$时距离最小为：$s_1 + s_2$。（可以自己造几个case看看）.

• 如果村庄个数为偶数个，那么建在中间两个位置的距离是一样的。比如：$x_1, x_2, x_3，x_4$， $x_1到x_2的距离为s_1, x_2到x_3的距离为s_2,x_3到x_4的距离为s_3$，那么建在中间两个村庄的距离是一样的。建在$x_2$：$s_1 + 2*s_2 + s_3$，
  建在$x_3$：$s_1 + 2*s_2 + s_3$。 建在$x_1$: $3*s_1 + 2*s_2 + s_3$。

• 因此：在$i$到$j$之间建一个邮局的最小距离等于在$i$到$j-1$之间建一个邮局的距离最小值加上$j$点到中位数村庄的距离。即：$sum[i][j] = sum[i][j] + x[j] - x[(i+j)/2]$

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int dp[300+1][300+1],sum[300+1][300+1];
int s[300+1];
int INF = 100000000;

int main()
{
    int V,P;
    scanf("%d%d",&V,&P);
    memset(dp,sizeof(dp),0);
    memset(sum,sizeof(sum),0);
    memset(s, sizeof(s), 0);
    for(int i = 1; i<=V; i++)
        scanf("%d",&s[i]);
    for(int i = 1; i<V; i++){
        for(int j = i+1; j<=V; j++)
            sum[i][j] = sum[i][j-1] + s[j] - s[(i+j)/2];
    }
    for(int i = 1; i<=V; i++)
        dp[i][1] = sum[1][i];
    for(int j = 2; j<=P; j++){
        for(int i = 1; i<=V; i++){
            dp[i][j] = INF;
            for(int k = 1; k<=i; k++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j] ,dp[k][j-1]+sum[k+1][i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[V][P]);
    return 0;
}