标签：codeforces dp 组合数学
题面：
很久很久以前，一位老人和他的妻子住在蔚蓝的海边。有一天，这位老人前去捕鱼，他捉到了一条活着的金鱼。鱼说：“噢，老渔人！我祈求你放我回到海里，这样的话我保证给你n样礼物——任何你想要的礼物！”鱼给了老人一张礼物的清单并附上了礼物的价值。清单上的一些礼物可能会有相同的名称、不同的价值，也可能会有不同的名称、相同的价值。然而，清单上不会出现名称和价值都相同的礼物。
老人可以向鱼索要清单上的n个礼物。老人知道，如果他索要同一个名称s次，那么金鱼会等概率地随机选择该名称下的s样礼物。老人想要满足他贪心的妻子，所以他会选择价值最高的n样礼物。此外，如果有不同的方法选择最高价值的n样礼物，他会等概率地采用其中任意一个方法。
老人想知道，他能拿到n样价值最高的礼物的概率是多少。然而他不怎么擅长概率论，于是就来向你求助。
1 <= n,m <= 1000输入保证所有ki的总和不超过1000, 并且保证n不大于礼物总数。
题意：
给出m个物品组，现在可以要其中的n个物品；
你的策略是这样的：如果有一种方案，可能得到价值最高的n个物品，那么这种方案就是可取的，最终你会从所有可取的方案中随机取一种；
注意：每个物品只有一个，取这n个物品可以认为是同时的；
答案就是得到价值最高的物品的概率；
题解：
这题的题意有些绕。。。而且精度都吓得我上long double了；
实际上很容易想到的是，先按价值大小排序之后，前面有一些是必拿的；
而后面有一价值相同的东西才是有选择的；
那么对于一个物品组，我们需要关心的只有三种属性；
物品组中物品的总个数size，一定要选的物品数must，可能选的物品数can；
但是题中保证了同一个物品组只有一个相同物品，那么这里的can不是0就是1！
暂且不考虑可能选的物品的影响，答案就是1/ΠC[size i][must i]；
组合数要提前处理出来，用个long double的1000*1000数组存；
这时我们其实可以暴搜所有方案，随机数据下速度也挺快，但很容易就被卡掉了；
设可以选的物品共有tot个，要从中选出cnt个；
暴搜的复杂度是C[tot][cnt]的，阶乘的增长速度。。。
所以想想不那么暴力的做法，如果物品组i的可选物品被选了，那么它对答案的贡献就由C[size i][must i]变成了C[size i][must i+1]；
这之间差的系数我们很容易得到(可以展开拿出公式，也可以直接用处理好的C数组除)；
答案求的是随机取方案的概率，也就是所有方案概率的平均数；
考虑一种方案，它的概率可以表示为1/ΠC[size i][must i]/cnt个不同的系数；
那设f[i][j]表示前i个系数，不同的j个乘在一起的和；
转移显然：f[i][j]=f[i-1][j]+系数*f[i-1][j-1]；
然后得到的1/ΠC[size i][must i]/C[tot][cnt]/f[tot][cnt]就是答案了；
复杂度不太好算，但是反正不会超过1000*1000，大概也就是O(m^2)咯；
代码：
#include<iomanip>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1100
using namespace std;
typedef long double ld;
int val[N][N],size[N],a[N],tot;
int n,m,tt,cnt,must[N],can[N];
ld C[N][N],fact[N],f[N][N],T[N],ans,mc;
bool cmp(int a,int b)
{
return a>b;
}
void init()
{
C[0][0]=1;
fact[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++)
{
fact[i]=fact[i-1]*i;
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}
}
}
void DP()
{
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=tt;i++)
{
f[i][0]=1;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*T[i];
}
}
}
int main()
{
int i,j,k;
scanf("%d%d",&m,&n);
init();
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",size+i);
for(j=1;j<=size[i];j++)
{
scanf("%d",&val[i][j]);
a[++tot]=val[i][j];
}
sort(val[i]+1,val[i]+size[i]+1,cmp);
}
sort(a+1,a+tot+1,cmp);
for(i=1,tt=0;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=size[i];j++)
{
if(val[i][j]>a[m])
must[i]++;
else if(val[i][j]==a[m])
{
T[++tt]=(ld)(must[i]+1)/(size[i]-must[i]);
can[i]++;
break;
}
else
break;
}
}
for(i=m,cnt=0;i>0;i--)
{
if(a[m]==a[i])
cnt++;
else break;
}
for(i=1,mc=1;i<=n;i++)
{
mc*=C[size[i]][must[i]];
}
DP();
ans=f[tt][cnt]/C[tt][cnt]/mc;
cout<<fixed<<setprecision(10)<<ans<<endl;
return 0;
}
标签：codeforces dp 组合数学
原文地址：http://blog.csdn.net/ww140142/article/details/48109225
