游戏中的三维数学

一、点和矢量

（一）坐标系分类

• 笛卡尔坐标系；
• 圆柱坐标系；
• 球坐标系；

通常来说笛卡尔坐标系是我们最常用的坐标系，但我们同样要根据不同的情况来选择合适的坐标系，例如我们在做一些环绕动画的时候，采用圆柱坐标系可以更简单。

在三维笛卡尔坐标系中又分为左右手坐标系，用左右手来方便做记忆，大拇指指向X轴，食指指向Y轴，中指指向Z轴，3指垂直即可建立模型。左右坐标系的转换只需要把一个轴转换，保留另外两个轴的方向不变即可。对于三维图形程序员来说，一般以左手坐标系工作，并且Y轴向上，X轴向右，Z轴远离观察者（摄像机朝向），因此在三维图形渲染至二维屏幕时，Z坐标的增加就会增加景深。

（二）矢量运算

• 矢量与标量的乘法：
  通常矢量与标量相乘都是保留矢量的方向，对矢量的模进行缩放。当然每个轴上的缩放因子也可以不相同，即非统一缩放，可表示为矢量与缩放矢量的分量积（反射光量可以使用RGB色值的分量积来计算）。

  S x A = （SxAx, SyAy, SzAz）

• 加减法：
  矢量加减法多用于合成运算，点与方向的运算。

  • 方向 + 方向 = 方向
  • 方向 - 方向 = 方向
  • 点 + 方向 = 点
  • 点 - 点 = 方向
  • 点 + 点 = 无意义

（三）模

矢量的模是个标量，表示矢量在三维空间中的长度。

（四）应用

• 矢量加减法可以用来刷新运动物体每帧的位置；
• 球体相交测试的时候用矢量减法，模以及浮点比较来进行判断（在进行模运算的时候，计算平方根通常是费时的操作，所以在不影响准确性的情况下应该尽量改用模的平）；

（五）矢量乘法

矢量的乘法有很多种，游戏编程中常见的有2种：

• 点积：
  两个矢量的点积结果是一个标量，为两个矢量中每对分量乘积之和。

  A · B = AxBx + AyBy + AzBz

  点积也可以写成两个矢量的模相乘再乘以两矢量夹角的余弦。

  A · B = |A||B|cosθ

  点积符合交换律，加法上的分配律，标量乘法的结合律。

  点击判定：点击非常适合用来判断两矢量是否共线或垂直，或测试两矢量是否大致在相同或相反方向。

  • 共线：(A · B) = |A||B| = AB
  • 共线但是相反方向：(A · B) = -AB
  • 垂直：(A · B) = 0
  • 相同方向：(A · B) > 0
  • 相反方向：(A · B) < 0
  • 向量投影：给定两个向量v和n，可以把向量v分解为平行和垂直n的两个分量v1，v2。v1 = n(v·n)/|n|2，v2 = v - v1。

• 叉积：
  两个矢量的叉积会产生一个垂直于原来两个矢量的矢量，叉积运算只定义在三维空间。
  A x B = [(AyBz - AzBy), (AzBx - AxBz), (AxBy - AyBx)]
  |A x B| = |A||B|sinθ
  若A和B为平行四边形的两条边，其面积为两矢量叉积的模|A x B|。

  叉积可以用来求法向量，力矩等。

  点和矢量的线性插值，用来计算两个已知点的中间点。
  L = LERP(A, B, θ) = (1-θ)A + θB
  = [(1-θ)Ax + θBx, (1-θ)Ay + θBy, (1-θ)Az + θBz]

  LERP函数是两矢量的加权平均。

关于向量相关的类我们可以在很多游戏引擎里面有看过，封装的方法也都是大同小异，这里介绍下封装过程中需要注意的细节：

• 数据类型：float还是double，根据实际的需求而定；
• 使用const成员函数；
• 使用const引用参数传地址避免以值传递调用一次构造提高效率，而且如果函数不是内联的，传值的方式会需要更多的堆栈空间和更长的参数压栈时间。
• 无缺省初始化：缺省构造函数不执行任何的初始化操作，因为向量类需要在严格要求速度的场合使用，建议不分配资源；
• 不使用虚函数：1、使用虚函数，优化器不能产生成员函数的内联代码；2、虚函数需要指向虚函数表的指针，向量定义时指针必须初始化，会使对象的大小增加25%，而存储包含向量的大数组是一种很普遍的现象。
• 全局常量：零

矩阵

4x4矩阵可表示任意三维变换，包括平移、旋转和缩放。仿射矩阵是一种4x4矩阵，它能维持直线在变换前后的平行性以及相对的距离比，但是不一定维持直线在变换前后的绝对长度及角度。

（一）矩阵乘法

P=AB，若A为缩放矩阵，B为旋转矩阵，则P等同于对点或矢量进行缩放和旋转变换。AB≠BA(AB不等于BA)，矩阵乘法不符合交换律。

• 逆矩阵

  矩阵A的逆矩阵能还原矩阵A的变换。若一个矩阵乘以它的逆矩阵，结果必然是单位矩阵。并非所有的矩阵都有逆矩阵。然而所有的仿射矩阵都有逆矩阵，可用高斯消去法或LU分解求之。
  A(Aˉ1) = I
  (ABC)ˉ1 = Cˉ1Bˉ1Aˉ1

• 转置矩阵

  转置矩阵就是把原来的矩阵以主对角线为对称轴做反射，和逆矩阵相同，矩阵串接的转置为反向串接各个矩阵的转置。

齐次坐标

2x2矩阵来表示二维中的旋转：

3x3矩阵来表示三维中的旋转：

3x3矩阵是无法表示平移的：R + T = [(Rx + Tx), (Ry + Ty), (Rz + Tz)]，虽然矩阵的乘法可以对元素进行相乘和相加，但是没有办法把T的分量放到3x3的矩阵中，使得与R相乘后产生(R+T)的值。

如果采用4x4矩阵就可以获得类似的和：

• 变换方向矢量

  当用矩阵变换一个点时，平移、旋转、缩放都会施于该点上。但是，当用矩阵变换一个方向矢量时，就要忽略矩阵的平移效果。因为方向矢量本身并没有平移，加上平移会改变其模。
  
  严格地说四维的齐次坐标转换为三维的非齐次坐标的方法是把x，y，z分量除以w分量：

  [x y z w] = [x/w y/w z/w]

此公式表明，可设点的w分量为1，方向矢量的w为0。矢量除以w=1，并不影响点的坐标，矢量除以w=0则会产生无穷大。所以事实上三维空间的纯方向在四维齐次空间是位于无穷远的点。

基础变换矩阵

4x4矩阵可以切割为4个组成部分：

• 左上的3x3矩阵U，代表旋转/缩放
• 1x3平移矢量t

• 平移
  
  平移矩阵的逆矩阵就是把t求反（即翻转tx，ty，tz的正负号）

• 旋转
  
  纯旋转矩阵的逆矩阵即是该旋转矩阵的转置矩阵。

• 缩放
  
  缩放矩阵的逆矩阵就是把Sx，Sy，Sz用倒数代替即可。

• 4x3矩阵
  4x4的仿射矩阵中最右侧一定是一列[0 0 0 1]的矢量，所以可以略去第4列以节省内存。（在使用GPU做蒙皮的时候，要向顶点着色器传递大量的变换，所以为了节省空间、时间，通常会使用3x4矩阵）