动态规划6-背包问题

优化？我们看一下这个递推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - w_i) + v_i), 看一下f(i,*)只与f(i-1,*)相关，再仔细看看我们的第维j，只和更小的值相关，我们可以省掉一维i，然后倒着循环j,用旧的值更新新的值，这时f一部分是旧的值f(i-1,*)，一部分是新的值f(i,*)。更具体地说小于j地是旧值，其余是新值。

核心伪代码：

1 f(0) = 0
2 f(1..m) = -∞
3 for i = 1 to n do
4    for j = m downto wi do
5        f(j) = max(f(j), f(j - wi))
6    endfor
7 endfor

所求结果是max{f(0..m)}

注意我们循环j只到w_i，因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品，这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧？

那么现在，时间复杂度时不变的，空间复杂度降低O(m)了。

们尝试换一种状态表示？ 我们令f(i,j)表示决定了前i件物品，总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的，那么初值呢？如果初值不变，f就没变化了……i＝ 0时，总重量时0，又因为0不超过任何整数，所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢？根据定义，最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同，初值不同也会定义不同的函数，请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。

核心伪代码：

1 初值f(0..m) = 0
2 for i = 1 to n do
3     for j = m downto wi do
4         f(j) = max(f(j), f(j - wi))
5     endfor
6 endfor

所求结果是f(m)

再换一种状态表示？刚才讲了，我们有重量和价值两个指标，那么我们令f(i,j)是决定了前i件物品，总价值恰好是j时的最小重量，那么经过类似的分析，我们可以写出这样的初值和递推式：

    

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的数量，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行，每行2个整数，Wi和Pi，分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)

输出可以容纳的最大价值。

3 6
2 5
3 8
4 9

14

 1 def array(n):
 2     a=[]
 3     for i in range(n):
 4         a.append(0)
 5     return a
 6 def max(x,y):
 7     if x>y:
 8         return x
 9     else:
10         return y
11     
12 line=input().split()
13 n=int(line[0])
14 v=int(line[1])
15 w=[0]
16 p=[0]
17 f=array(v+1)
18 for i in range(n):
19     line=input().split()
20     w.append(int(line[0]))
21     p.append(int(line[1]))
22 for i in range(1,n+1):
23     for j in range(v,w[i]-1,-1):
24         f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+p[i])
25 print(f[v])