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矩阵与向量的乘法可以理解为变换+投影，变换分为旋转变换与伸缩变换，投影可以是低维向高维的投影，也可以是高维向低维的投影。因此，方阵与向量的乘法只有变换操作，一个行数大于列数的矩阵与向量的乘法包含了变换以及维度的提高，一个行数小于列数的矩阵与向量的乘法则是维数的降低。
方阵的矩阵乘法对应了一种变换，将一个向量变成另一个向量，新向量的方向、大小往往是与旧向量是不同的。在变换的过程中，又可以分为旋转变换与伸缩变换，而当一个矩阵对某些向量只发生伸缩变换时（变换后的向量与原向量平行），这些向量便是这个矩阵的特征向量，伸缩的比例便是特征值。由于要求只对向量发生伸缩变换（隐式地说明没有投影变换），因此只有方阵才拥有特征向量这个性质便很好理解。这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。
特征向量和特征值有哪些具体用途？
图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。
在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据。
在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵， Google的PageRank算法就是一个例子。
在量子力学中，特别是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理论下，原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量。相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个情况下，特征向量一词可以用于更广泛的意义，因为Fock算子显式地依赖于轨道和它们地特征值。
参考文章：
[1]http://blog.163.com/renguangqian@126/blog/static/1624014002011711114526759/
[2]http://www.zhihu.com/question/20382971
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原文地址：http://www.cnblogs.com/jujy361/p/4774604.html
