考虑一下f(i,j)的含义我们把第i个数放到了某一组，差值变成了j (j >= 0)
第i个数放入哪个组有两种可能：
（1） 第i个数放入原来和比较大的组，那么放入第i个数的时候差值变成了j，拉大了差值，所以原来的差值是j - ai (j >=ai),那么如果f(i-1, j - ai)是true，则f(i,j)也为true
（2） 第i个数放入原来和比较小的组，那么放入第i个数的时候又有两种情况：
（2.1） 原来相差很大了，已经是j + ai了，加入ai缩小了差距，于是意味着如果f(i－ 1， j + ai) ＝ true，则f(i,j)是true。
（2.2） 原来相差不大， 加入ai之后，和较小的组变成了和较大的组。那么原来大的比小的和大ai – j （ai >=j), 于是意味着如果f(i – 1, ai – j)是true，则f(i,j)为true。
（1）和(2.2)可以统一成若 f(i-1, |j - ai|) = true，则f(i,j) = true
总结前面说的
f(i,j) = f(i – 1, |j - ai|) || f(i – 1, j + ai)
这里我们巧妙地运用绝对值和逻辑或运算。
继续考虑，初值是什么？ f(0,0) = true。没有数的时候，差值只能是0，其余f(0,x > 0) = false。
第二维有多大？ 第二维大小可以达到所有数的所以时间复杂度是O(n * sum),空间复杂度也是 O(n * sum)，这里sum是所有数的总和。
最终答案是什么？
根据定义，最终答案是min{x| f(n,x) = true}
空间优化？ f(i, *)只与f(i – 1, *)有关，所以两行，达到递推的目的。
上面的解法看起来不是动态规划，因为动态规划的式子看起来应该是个“优化”问题，也就是应该有max或者min的样子，而不是一个bool值。
那么我们有别的方法么？
考虑最后分组情况，如果所有数的和为sum, 较小和的那组数一定不超过 [sum / 2]。我们的目标是使得和较小组的总和尽可能大。
我们的目标是从这n个数中选出一些数，这些数的总和不超过[sum / 2]且总和尽可能大。
那我们重新定义int f(i,j)表示从前i个数中选出的数，总和不超过j的时候能得到的最大的和。
则如果不选择ai f(i-1,j) = f(i,j)
如果选择ai,则f(i,j) = f(i, j - ai) j >= ai
第二维大小是[sum / 2]
初值是f(0, x) = 0 注意含义是总和“不超过”x的时候的最大值。
递推式是
=\left\{\begin{array}{l}%20f(i-1,%20j)%20\;%20(j%20%3C%20ai)\\%20%20max(f(i-1,%20j),%20f(i,%20j-ai)%20+%20ai)\;(ai%20%3C=%20j%20%3C=%20[sum%20/%202])%20\\%20%20\end{array}\right.)
那么最终答案是什么？ 根据定义，应该是f(n, [sum / 2])。
时间复杂度和空间复杂度依然是O(n * [sum / 2]) ，同样可以优化掉一维的空间复杂度。
综上所述，两种方法的时间复杂度都是O(n * sum)级别的，通常sum不是很大，比如说本题sum不超过10000，所以从实际角度上讲，这个复杂度比O(2n)强多了。
再顺带说一下如果要求出一组最优解的具体分配方案，怎么做？
别忘了，动态规划问题，求具体方案的惯用方法就是记录当前f(i,j)是由之前哪个状态得到的，然后一步一步小心谨慎地回退到起点，就像我们在搜索问题中记录之前地节点恢复出路径一样。
最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。
输入
第1行：一个数N，N为正整数的数量。
第2 - N+1行，N个正整数。
(N <= 100, 所有正整数的和 <= 10000)
输出
输入示例
输出示例
1
1 #正整数分组
2 n=int(input())
3 a=[0]
4 f=[0]
5 sum=0
6 for i in range(n):
7 x=int(input())
8 a.append(x)
9 f.append(0)
10 sum+=x
11 k=int(sum / 2)
12 for i in range(k):
13 f.append(0)
14 for i in range(1,n+1):
15 for j in range(k,a[i]-1,-1):
16 f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+a[i])
17 print(sum-2*f[k])
