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第2章 数的存储
第1节 机器数
计算机中，表示数和数的符号的二进制数，叫做机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
机器数可用不同的码制来表示，常用的有原码、补码和反码表示法。
第2节 真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
第3节 有符号数处理
在计算机运算中，有符号数的表示需要将负数编码为二进制形式。在数学中，任意基数的负数都在最前面加上“?”符号来表示。然而在计算机硬件中，数字都以无符号的二进制形式表示，因此需要一种编码负号的方法。当前有四种方法，用于扩展二进制数字系统，来表示有符号数：原码（sign-and-magnitude），反码（ones‘ complement），补码（two‘s complement），以及移码excess-N。
1.原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，符号及值（sign & magnitude）的处理法是分配一个符号位（sign bit）来表示这个符号：设置这个位（通常为最高有效位）为0表示一个正数，为1表示一个负数。数字中的其它位指示数值（或者绝对值）。因此一个字节只有7位（除去符号位），数值的范围从0000000（0）到1111111（127）。这样当你增加一个符号位（第八位）后，可以表示从?12710到+12710的数字。这种表示法导致的结果就是可以有两种方式表示零，00000000（0）与10000000（?0），这大大增加数码电路的复杂性和设计难度。CPU亦须执行两次比较，来测试运算结果是否为零。
十进制数?43用原码方法编码成八位的结果为10101011。
这种方法被直接比较于常用的符号表示法（放置一个“+”或者“?”在数字的数值之前）。一些早期的二进制电脑（例如IBM 7090）使用这种表示法，也许是由于它与通用用途的自然联系。原码是最常用的表示浮点数的方法。IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE 754）采用最高有效位作为符号位，因此可表示正负零及正负无限。
2.反码
另一方面，一种叫做反码的系统也可以用于表示负数（注：正数与原码形式一样，无需取反）。一个负数的二进制数反码形式为其绝对值部分按位取反（即符号位不变，其余各位按位取反）。同原码表示一样，0的反码表示形式也有两种：00000000（+0）与11111111（?0）。
举例来说，原码10101011（-43）的反码形式为11010100（?43）。有符号数用反码表示的范围为?(2N?1?1)到(2N?1?1)，以及+/?0。传统的表示为?12710到+12710，以及00000000（+0）或者11111111（?0）。
正数的反码是其本身, 负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。注意负数的反码只需按位求数值的补就可以得到，符号不需要变动。
3.补码
补码（2‘s complement）是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。在台湾和香港称为二补数。数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。
一个数字的补码就是将该数字作比特反相运算（即一补数或反码），再将结果加 1。在补码系统中，一个负数就是用其对应正数的补码来表示。正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1) 。
补码回避了0有多种表示的问题以及循环进位的需要。在补码表示中，负数以位模式表示为正值的反码加1（当作无符号数）。
在补码表示中，只有一个0（00000000）。求一个数的否（无论是负数还是正数）需要反转所有位，然后加1。一对补码整数相加等价于一对无符号数相加（除了溢出检测，如果能够做到的话）。比如，从旁边的表格可以看出，127与?128的补码表示相加就与无符号数127及128相加具有相同的结果。
补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。
另外，补码系统的 0 只有一个表示方式，这点和一补数系统不同（在一补数系统中，0 有二种表示方式），因此在判断数字是否为 0 时，只要比较一次即可。
8-bit补码系统的整数。它的可表示的范围包括-128到127，总共256 (28)个整数。
以下用 4 比特的补码数字来说明补码系统的数字表示方式。
在表示正数和零时，二补数数字和一般二进制一样，唯一的不同是在补码系统中，正数的最高比特恒为 0，因此4 比特的补码正数，最大数字为 0111 (7)。
补码数字的负数，最高比特恒为 1，4 比特补码的数字中，最接近 0 的负数为 1111 (-1)，以此类推，因此绝对值最大的负数是 1000 (-8)。
在一般 n 比特的二进制数字中，最高有效比特(MSB) 第 n 比特代表的数字为 2n?1。不过，在 n 比特的补码系统中，最高有效比特(MSB) 第 n 比特表示符号比特，若符号比特为 0，数字为正数或 0，若符号比特为 1，数字为负数。
求负数补码表示的方法：
（1）写出与该负数相对应的正数的补码
（2）按位求反
（3）末位加一
例：假设机器字长为8位，求-46的补码。
+ 46的补码表示为： 0010 1110
按位求反： 1101 0001
末位加一 1101 0010
所以，[-46]补码 = D2H
符号扩展：是指一个数从位数较少扩展到位数较多，如从8位扩展到16位，或从16位扩展到32位。
对于用补码表示的数，正数的符号扩展在前面补0，负数的符号扩展在前面补1，假设机器字长为16位，[+46]补码 = 002EH，[-46]补码 = FFD2H。
n位补码的表数范围
8位二进制数可以表示=256个数，16位二进制数可以表示=65536个数，当它们是补码表示的带符号数时，8位二进制的表数范围是 -128 N +127，
16位二进制的表数范围是 -32768 N +32767。
n位补码的表数范围是：
4.移码
移码，是将二进制原码无符号整数所代表的值，减去一个预设值。
标准移码，预设值为二进制原码表示的最大整数的一半。 一个数的标准移码和补码，最高位相反，其余各位均相同。
#include <stdio.h>
int main(int argc, char * argv) {
char a;
short b;
a = 127;
b = (short)127;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = 128;
b = (short)128;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = 1;
b = (short)1;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = 0;
b = (short)0;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = -0;
b = (short)-0;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = -1;
b = (short)-1;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = -128;
b = (short)-128;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
a = (char) -129;
b = (short)-129;
printf("a=%08X,b=%d.\n", a, b);
return 0;
}
a=0000007F,b=127.
a=FFFFFF80,b=128.
a=00000001,b=1.
a=00000000,b=0.
a=00000000,b=0.
a=FFFFFFFF,b=-1.
a=FFFFFF80,b=-128.
a=0000007F,b=-129.
补码的加、减法
对一个二进制数按位求反、末位加一的运算称为求补运算，补码表示的数具有以下特征：
补码的加法规则是：[X+Y]补=[X] 补+[Y] 补
补码的减法规则是：[X-Y] 补=[X] 补+[-Y] 补
其中通过对求补就可以得到。
在机器里，补码减法是通过对减数求补后把减法转换为加法进行的。符号位参加运算，能自动得到正确结果。
例：假设机器字长为8位，计算25+(-32)
25的补码是0001 1001，-32的补码是1110 0000，
结果恰好是-7的补码1111 1001，可以看出运算是正确的。
例：仍假定机器字长为8位，计算32-(-25)
为把减法转换为加法，要对-25求补，实际上就是25的补码0001 1001， 32的补码是0010 0000，
结果恰好是57的补码0101 0111，运算正确。
在某些情况下，要处理的数全是正数（比如表示地址的数），就没有必要保留符号位了，可以把最高有效位也作为数值处理，这样的数称为无符号数。n位无符号数的表数范围是。
第4节 BCD码
二进码十进数（英语：Binary-Coded Decimal，简称BCD，台湾称二进码十进数）是一种十进制的数字编码形式。这种编码下的每个十进制数字用一串单独的二进制位元来储存表示。常见的有4位元表示1个十进制数字，称为压缩的BCD码（compressed or packed）；或者8位元表示1个十进制数字，称为未压缩的BCD码（uncompressed or zoned）。
这种编码技术，最常用于会计系统的设计里，因为会计制度经常需要对很长的数字串作准确的计算。相对于一般的浮点式记数法，采用BCD码，既可保存数值的精确度，又可免却使电脑作浮点运算时所耗费的时间。此外，对于其他需要高精确度的计算，BCD编码亦很常用。
BCD码的主要优点是在机器格式与人可读的格式之间转换容易，以及十进制数值的高精度表示。BCD码的主要缺点是增加了实现算术运算的电路的复杂度，以及存储效率低。
常用BCD编码方式
最常用的BCD编码，就是使用"0"至"9"这十个数值的二进码来表示。这种编码方式，称为8421BCD， 除此以外，对应不同需求，各人亦开发了不同的编码方法，以适应不同的需求。这些编码，大致可以分成有权码和无权码两种：
1.有权码，如：8421（最常用）、2421、5421…
2.无权码，如：余3码、格雷码…
1.8421BCD编码
这是一种使用最广的BCD码，是一种有权码，其各位的权分别是（从最有效高位开始到最低有效位）8、4、2、1（即23、22、21、20），因而称为“8421BCD编码”。
比如：8421BCD码的1011＝8*1+4*0+2*1+1*1＝11
在使用8421BCD码时一定要注意其有效的编码仅十个，即：0000～1001。4位二进制数的其余6个编码1010、1011、1100、1101、1110、1111不是有效编码。这种BCD编码实际上就是0~9的“等值”二进制数。
2.2421BCD编码
2421BCD码也是一种有权码，其从高位到低位的权分别为2、4、2、1（同样也是它得名的原因），其也可以用4位二进制数来表示1位十进制数。
比如: 2421BCD码的(1100 0100 0010)＝十进制的(6 4 2)
因为
2421BCD码的1100＝2*1+4*1+2*0+1*0＝6
2421BCD码的0100＝2*0+4*1+2*0+1*0＝4
2421BCD码的0010＝2*0+4*0+2*1+1*0＝2
3.余3码
余3码也是一种BCD码，但它是无权码。但由于每一个码对应的8421BCD码之间相差3，故称为余3码，其一般使用较少，故只须作一般性了解。
余三码是在8421BCD码的基础上，把每个数的代码加上0011（对应十进制数3）后得到的。
4.格雷码
格雷码（循环二进制单位距离码）是任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码，它与奇偶校验码同属可靠性编码。
格雷码（Gray code）是由贝尔实验室的Frank Gray在1940年提出，用于在PCM（脉冲编码调变）方法传送讯号时防止出错，并于1953年3月17日取得美国专利。格雷码是一个数列集合，相邻两数间只有一个位元改变，为无权数码，且格雷码的顺序不是唯一的。
格雷码能避免讯号传送错误的原理
传统的二进位系统例如数字3的表示法为011，要切换为邻近的数字4，也就是100时，装置中的三个位元都得要转换，因此于未完全转换的过程时装置会经历短暂的，010,001,101,110,111等其中数种状态，也就是代表着2、1、5、6、7，因此此种数字编码方法于邻近数字转换时有比较大的误差可能范围。葛雷码的发明即是用来将误差之可能性缩减至最小，编码的方式定义为每个邻近数字都只相差一个位元，因此也称为最小差异码，可以使装置做数字步进时只更动最少的位元数以提高稳定性。 数字0～7的编码比较如下：
十进位 葛雷码 二进位
0 000 000
1 001 001
2 011 010
3 010 011
4 110 100
5 111 101
6 101 110
7 100 111
直接排列
以二进制为0值的格雷码为第0项，第1项改变最右边的位元，第2项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第3、4项方法同第1、2项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。
格雷码转二进位数
二进位码第n位 = 二进位码第（n+1）位+格雷码第n位。因为二进位码和格雷码皆有相同位数，所以二进位码可从最高位的左边位元取0，以进行计算。（注：遇到1+1时结果视为0）
例如： 格雷码0111，为4位数，所以其所转为之二进位码也必为4位数，因此可取转成之二进位码第五位为0，即0 b3 b2 b1 b0。
0+0=0，所以b3=0
0+1=1，所以b2=1
1+1=10取0，所以b1=0
0+1=1，所以b0=1
因此所转换为之二进位码为0101
应用
格雷氏编码与相位移在三维曲面量测：利用格雷码投射在微型曲面做量测 一个非接触式、投影的方法光学测量。在化简逻辑函数时，可以通过按格雷码排列的卡诺图来完成。
和葛雷码有相同数学模式的玩具
中国的古老益智玩具九连环有着和格雷码完全相同的数学模式，外国一款名为spin out的玩具也是运用相同的数学模式。
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