codeforces 251C C. Number Transformation(数论+dp)

题目链接：

codeforces 251C

题目大意：

给出两个数a,b,k有两种操作，a-=1,或者a-=a%x(2<=x<=k)，问最少需要多少步操作能够使a变成b

题目分析：

• 首先我们考虑数据范围小的怎么做，$定义状态dp[i]表示从a到达i最少需要多少步$
• $$\left\{ \begin{aligned} dp[i-1] = min ( dp[i-1],dp[i]+1)\dp[i-i \% x] = min \{ (dp[i-i \% x] , dp[i]+1 ) | 2 \leq x \leq k \} \end{aligned} \right.$$
• 那么我们考虑题目给出的数据范围好大，直接做肯定超时，那么考虑每步操作只有a-=1和a-=a%x，那么我们考虑每次决策如果不选1的话，那么可能会更快的到达，但是如果所有的x都会被整除，那么选择1反而会得到最优解，所有的x都被整除，那么此时的数一定是所有x的lcm的倍数。
  $$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a = p \cdot lcm + b \& a = p_1 \cdot x_1 + b_1 \\end{aligned} \right. \& \Rightarrow a = p \cdot lcm + p_3 \cdot x_1 + b_1 \& \Rightarrow a-b_1 = p \cdot lcm + p_3 \cdot x_1 \& \Rightarrow a-b_1 = p \cdot lcm + q \ ( \ q = p_3 \cdot x_1 ) \& \Rightarrow a-b_1 = p \cdot lcm + p_4 \cdot x_2 + b_2 \& \Rightarrow a-b_1-b_2 = p \cdot lcm + p_4 \cdot x_2 \& 同理可得， \& \Rightarrow a - \sum_{i=1}^n b_i = p\cdot lcm + p_n \cdot x_n \\end{aligned}$$
  所以每个lcm都是可达的，且一定要到达的，因为通过如上操作是不能跳过某一个lcm的倍数的，所以我们利用lcm分块，然后只需要根据性质，对相同性质的块操作只做一次就可以了。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAX 400007

using namespace std;

typedef long long LL;
LL a,b,dp[MAX];
int k;

LL gcd ( LL a , LL b )
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

LL solve ( LL a , LL b )
{
    memset ( dp, 0x3f , sizeof ( dp ) );
    dp[a] = 0;
    for ( int i = a ; i > b ; i-- )
    {
        dp[i-1] = min( dp[i]+1 , dp[i-1] );
        for ( int j = 2 ; j <= k ; j++ )
            dp[i-i%j] = min ( dp[i-i%j] , dp[i]+1 );
    }
    return dp[b];
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%lld%lld%d" , &a , &b , &k ) )
    {
        LL lcm = 2;
        for ( int i = 3; i <= k ; i++ )
        {
            int d = gcd ( i , lcm );
            lcm *= i;
            lcm /= d;
        }
        LL ans;
        if ( a/lcm == b/lcm )
            ans = solve ( a%lcm , b%lcm );
        else 
            ans = solve ( a%lcm , 0 ) + (a/lcm-b/lcm-1)*solve ( lcm , 0 ) + solve ( lcm , b%lcm );
        printf ( "%lld\n" , ans );
    }
}