Singapore NOI2012 MODSUM题解

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MODSUM（modsum.pas/c/cpp）

【问题描述】

在本题中，你得到了一个含有n个参数的函数f：

f(x₁,…,x₂)=(((x₁+x₂+…+x_n)⁴+2*(x₁+x₂+…+x_n)²) mod 5)+1

为了避免出现争议，函数f只接受整数参数。你的任务是计算f的所有函数值的和，每个参数x_i是从v_i到w_i之间的整数。也就是说，你需要计算

例如，如果n=3，v₁=2，w₁=3.v₂=10，w₂=12，v₃=17，w₃=17，那么这个结果应该是19。因为f(2，10，17) = 4, f(2，11，17) = 1, f(2，12，17) = 4, f(3，10，17) = 1,f(3，11，17) = 4 and f(3，12，17) = 5。

重要提示：你可以认为这个结果是总小于1,000,000的。

【输入】

你的程序必须从标准输入中读取数据。输入包含一个数n（1≤n≤1000），跟在n后面有n对数，v_i和w_i，你可以认为v_i≤w_i，v_i和w_i都是0~100之间的整数。比如上面这个例子，输入是：

3 2 3 10 12 17 17

【输出】

你的程序必须从标准输出中输出。输出计算出的和。比如上面这个例子，输出则是：

19

【数据范围】

你的程序将会被5套测试数据测试：

1. （5分）n≤6；

2. （5分）n≤20；

3. （5分）n≤100；

4. （5分）n≤200；

5. （5分）n≤1000.

【题目分析】

看到本题，我们第一个反应到的算法应该就是搜索算法，深度优先搜索解答树，即枚举每个数从v_i到w_i的值，逐个计算函数值，最后累加。但是分析一下极端情况我们会发现，枚举量会达到101¹⁰⁰⁰，这个枚举量是难以接受的，但是题目中给了我们一个重要信息——最后的值不会超过1,000,000，每一个函数值最小为1，最大为5，和不超过1,000,000，也就代表着最多枚举量不会超过1,000,000。这样我们使用DFS搜索解答树完全是可行的。但是由于循环的层数不固定，所以我们通过递归的方式来变相的达到循环的效果。

比如题目中所给的例子的解答树是：

但是从DFS可以看出，它计算了很多重复的值，浪费了很多的时间。那么我们可以考虑采用BFS的思想，逐层进行DP的方式进行处理。

在此之前，我们先计算出一个表格，用来计算当Σx_i%5分别等于 0,1,2,3,4时f(x₁,…,x_n)的取值，方便后面的计算。

那么，我们设f[i][y]表示前i个数里面，Σx_i%5=y的种类数。那么状态转移方程为：

（其中，c[i][z]表示第i个数所在的范围v_i到w_i之间除以5余z的数的数量。边界f[0][0]=1）

例如：f[4][0]=f[3][0]*c[4][0]+f[3][1]*c[4][4]+f[3][2]*c[4][3]+f[3][3]*c[4][2]+f[3][4]*c[4][1]。

样例分析：前四个数的和除以5余0的可能有：前三个数的和余0的数再加上第四个数的范围内余0的数，最终和余数仍为0（种类用乘法）；前三个数的和余1的数再加上第四个数的范围内余4的数，最终和余数仍为0（种类用乘法）…以此类推。

而最后，我们把f[n][0]~f[n][4]中的数分别和上表的数相乘，再相加即为最终答案。

【程序源代码】

1. 递归计算代码：

2. 动态规划代码：

欢迎鄙视。

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原文地址：http://www.cnblogs.com/jerryxie/p/4780693.html