POJ 3468 A Simple Problem with Integers

You have N integers, A1, A2, ... , AN. You need to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

The first line contains two numbers N and Q. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.The second line contains N numbers, the initial values of A1, A2, ... , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.Each of the next Q lines represents an operation."C a b c" means adding c to each of Aa, Aa+1, ... , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000."Q a b" means querying the sum of Aa, Aa+1, ... , Ab.

You need to answer all Q commands in order. One answer in a line.

给你一个数列，每次询问一个区间的和，或者每次将一个区间的所有元素都加上一个数

    树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和，

但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，

还是可以把问题转化为求数组的前缀和。

    首先，看更新操作$update(s, t, d)$把区间$A[s]...A[t]$都增加$d$，我们引入一个数组$delta[i]$，表示

$A[i]...A[n]$的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令$delta[s] = delta[s] + d$，表示将$A[s]...A[n]$同时增加$d$，但这样$A[t+1]...A[n]$就多加了$d$，所以

2）再令$delta[t+1] = delta[t+1] - d$，表示将$A[t+1]...A[n]$同时减$d$

    然后来看查询操作$query(s, t)$，求$A[s]...A[t]$的区间和，转化为求前缀和，设$sum[i] = A[1]+...+A[i]$，则

                            $A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]$，

那么前缀和$sum[x]$又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始

值保存在数组org中，并且$delta[i]$对$sum[x]$的贡献值为$delta[i]\times (x+1-i)$，那么

                            \[ sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]\times x + delta[2]\times (x-1) + delta[3]\times (x-2)+...+delta[x]\times 1\]

                                         \[= org[1]+...+org[x] + \sum_{i = 1}^{x}(delta[i]\times (x+1-i))\]

                                        \[ sum[x] = \sum_{i = 1}^{x}(org[i]) + (x+1)\times\sum_{i = 1}^{x}(delta[i]) - \sum_{i = 1}^{x}(delta[i]\times i) \]

可以转化为 $\sum_{i=1}^{x}(org[i]-delta[i]*i)+(x+1)*delta[i]$

这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和

delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const int maxn = 100010;
 7 LL s[maxn],c[2][maxn];
 8 int n,m;
 9 void add(LL *c,int i,LL val) {
10     while(i <= n) {
11         c[i] += val;
12         i += i&-i;
13     }
14 }
15 LL sum(LL *c,int i,LL ret = 0) {
16     while(i > 0) {
17         ret += c[i];
18         i -= i&-i;
19     }
20     return ret;
21 }
22 int main() {
23     char cmd[4];
24     LL x,y,z;
25     while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
26         memset(c,0,sizeof c);
27         for(int i = 1; i <= n; ++i) {
28             scanf("%lld",s + i);
29             s[i] += s[i-1];
30         }
31         while(m--) {
32             scanf("%s",cmd);
33             if(cmd[0] == ‘C‘) {
34                 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
35                 add(c[0],x,z);
36                 add(c[0],y+1,-z);
37                 add(c[1],x,x*z);
38                 add(c[1],y+1,-z*(y+1));
39             } else {
40                 scanf("%lld%lld",&x,&y);
41                 printf("%lld\n",s[y] - s[x-1] + (y+1)*sum(c[0],y) - sum(c[1],y) - x*sum(c[0],x-1) + sum(c[1],x-1));
42             }
43         }
44     }
45     return 0;
46 }

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