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欧拉函数Euler(x)
Euler(n)表示1-n之间与n互质的个数,例如Euler(4) = 2，其中1和3与4互质。（数论里面规定Euler(1) = 1,并且1与任何数互质）。
欧拉函数的通项表达式为：
还有其一些推论：
当n >= 1时，1 - n中与n互质的整数和为nEuler(n)/2;
那欧拉函数怎么求呢？
首先我们再来学习下一个概念：积性函数。
函数f（x)对于任意正整数a, b，如果a,b互质并且满足f(ab) = f(a)f(b),则f(x)为积性函数。其中若a,b不互质仍满足f(ab) = f(a)f(b)则称f(x)为完全积性函数。
对于一个数n和他的约数p:
对于任意一个正整数n, 均有：
再根据积性函数的性质得：
也就是先预处理使Euler[i] = i,再去考虑能被n的质因数，只要把其中一个质因数p改成p - 1即可。
附上伪代码：
const int N = 1000000 + 5;
int euler[N];
void euler_function(){
for(int i = 0; i <= N - 5; i ++) euler[i] = i;
for(int i = 2; i <= N - 5; i ++)
if(euler[i] == i)
for(int j = 1; i * j <= N - 5; j ++)
euler[i * j] = euler[i * j] / i * (i - 1);
}
当然，上述算法（类似于埃式筛法）的复杂度为（n + nloglogn)。
然后我们再想想筛选素数的方法除了埃式筛法，还有更快速的线筛（素数筛选传送门）
附上代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N = 1000000 + 5; 6 7 int n; 8 9 int check[N], euler[N], prime[N]; 10 11 void euler_function(){ 12 memset(check, 0, sizeof(check)); 13 euler[1] = 1; 14 int tot = 0; 15 for(int i = 2; i <= N - 5; i ++){ 16 if(!check[i]){ 17 prime[tot ++] = i; 18 euler[i] = i - 1; 19 } 20 for(int j = 0; j < tot; j ++){ 21 if(i * prime[j] > N - 5) break; 22 check[i * prime[j]] = 1; 23 if(i % prime[j] == 0){ 24 euler[i * prime[j]] = euler[i] * prime[j]; 25 break; 26 } 27 else euler[i * prime[j]] = euler[i] * (prime[j] - 1); 28 } 29 } 30 } 31 32 int main(){ 33 euler_function(); 34 while(scanf("%d", &n) == 1)printf("%d\n", euler[n]); 35 return 0; 36 }
参考论文 ：http://www.docin.com/p-687551303.html
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4789867.html
