二叉查找树

虽然在需要优先级队列的应用程序中，堆非常合适，但它并不适用删除任意元素的应用，从具有n个元素的堆中删除任意元素的时间开销为O(n)，并且查询任意元素的时间开销也是O(n),因此当进行插入，删除和查找操作，二叉查找树的性能就非常的适合。
二叉查找树，具有如下性质：

• 每个元素都有关键字，任意两个元素的关键字都不相同，即，关键字是唯一的。
• 非空左子树的关键字值一定小于其子树根结点的关键字值。
• 非空右子树的关键字值一定大于其子树根结点的关键字值。
• 左，右子树仍然是二叉查找树。
  一颗符合以上性质的叉查找树，如图：
  
  二叉查找树的查找过程：假设要查找一个关键字为key的元素，则从root开始查找，如果root是NULL，则此二叉树不包含任何元素，查找失败，否则，将key与root的关键字比较，如果key的值等于root的关键字值，则查找成功结束，如果key值小于root的关键字值，则说明右子树中不存在关键字值等于key的元素，因此只需要查找root的左子树，如果key值大于root的关键字值，则需要查找root的右子树，其时间复杂度为O($log_2$N),查找过程如图：
  
  递归查找实现：

//递归二叉查找树查找
tree_pointer search(tree_pointer root,int key)
{
   if(!root) return NULL;
   if(root->data==key)
      return root;
   if(root->data>key)
      return search(root->left_child,key);
   else
      return search(root->right_child,key);
}

迭代查找实现：

//迭代二叉查找树查找
tree_pointer search2(tree_pointer root,int key)
{
   while(root)
   {
      if(root->data==key)
         return root;
      if(root->data>key)
         root=root->left_child;
      else
         root=root->right_child;
   }
   return NULL;
}

二叉查找树的插入：
要插入一个关键字值为key的新元素，必须首先确认这个关键字与现有的元素的关键字值都不同，为此，对二叉查找树进行查找，如果查找不成功，则将元素插入到查询结束处，时间复杂度为O($log_2$N).

代码实现：

//如果树为空，或该关键字值已存在，则返回NULL，否则返回查找过程中遇到的树中最后一个结点的指针
tree_pointer modified_search(tree_pointer root,int key)
{
   tree_pointer lastroot=NULL;
   while(root)
   {
      lastroot=root;
      if(root->data==key)
         return NULL;
      if(root->data>key)
         root=root->left_child;
      else
         root=root->right_child;
   }
   return lastroot;
}
//插入操作
void insert_node(tree_pointer *node,int num)
{
   tree_pointer ptr,temp=modified_search(*node,num);
   if(temp||!(*node))
   {
      ptr=(tree_pointer)malloc(sizeof(node));
      ptr->data=num;
      ptr->left_child=ptr->right_child=NULL;
      if(*node)
         {
            if(ptr->data<temp->data)
               temp->left_child=ptr;
            else
               temp->right_child=ptr;
         }
      else
         *node=ptr;
   }
}

二叉查找树的删除：
二叉查找树的删除也是常用的操作，其时间复杂度为O($log_2$N),而删除目标结点要考虑以下三种情况以及对应的处理：

• 如果目标结点是叶子结点，那就直接删除。
• 如果目标结点是仅有一个子结点，那么在删除后，令其唯一的子结点取代原来的位置。
• 如果目标结点结点有两个儿子结点，在删除时，先用其左子树中的最大元素或者其右子树的最小元素替代给结点，然后，将替代结点从其子树中删除。
  代码实现：

//删除元素操作
void delete_node(tree_pointer node,int num)
{
   if(!node)
      return;
   if(num<node->data)
      delete_node(node->left_child,num);
   else if(num>node->data)
      delete_node(node->right_child,num);
    //如果目标有两个结点的情况
   else if(node->left_child!=NULL&&node->right_child!=NULL)
   {
      tree_pointer minnode=node->right_child;
      //寻找右子树的最小结点
      while(minnode->left_child)
         minnode=minnode->left_child;
      node->data=minnode->data;
      delete_node(minnode,minnode->data);
   }
   //如果目标结点有一个儿子结点或者没有儿子结点的情况
   else
   {
      tree_pointer deleteNode=node;
      node=(node->left_child!=NULL) ?node->left_child:node->right_child;
      free(deleteNode);
   }
}