Poisson 点过程及其性质

>陈丽, 王桂花. Poisson点过程及其性质[J]. 新乡学院学报, 2012, 29(6):483-484. DOI:10.3969/j.issn.1674-3326.2012.06.002.

**下面的文章为对引文的重新整理**

## 1. 预备知识

- #### 定义1:设 $ (X,{\Re _X}) $ 是一个可测空间，如果 $ {D_p} \subset (0,\infty ) $ 是一个至多可数集，则称映射 $ p:{D_p} \to X $ 为 $ X $ 上的点函数.  

如果 $ p $ 是 $ X $ 上的点函数，则 $ {N_p}\left( {\left( {0,t} \right] \times U} \right) \buildrel \Delta \over = \left\{ {s|s \in {D_p},p(s) \in U} \right\} $ 其中 $ t \in \left( {0,\infty } \right),U \in {\Re _X} $ 这就定义了

$ \left( {0,\infty } \right) \times X $ 上的一个记数测度为 $ N_p(dtdx) $ .

令 $ {\Pi _x} $ 表示 $ X $ 上全体点函数的集合, 记 $ \Re ({\Pi _X}) = \sigma \left( {\left\{ {{N_p}\left( {\left( {0,t} \right) \times U} \right):{\Pi _X} \to {\mathbb{Z}^ + } \cup \left\{ \infty  \right\}|t \in \left( {0,\infty } \right),U \in {\Re _X}} \right\}} \right) $ .

- #### 定义2：取值于 $ \left( {{\Pi _X},\Re \left( {{\Pi _X}} \right)} \right) $ 的随机变量称为X 上的点过程.

设 $ p $ 是 $ X $ 上的点函数，且 $ t \geqslant 0 $ ，令 $ {D_{\theta tp}} = \left\{ {s|s \in \left( {0,\infty } \right),s + t \in {D_p}} \right\} $ ，定义: $ \theta tp(s) = p(t + s) $ 为$q tp(s) = p(t +

s) $. 其中 $ s \in D_{\theta tp} $ . 设 $ p $ 是 $ X $ 上的点过程，如果对于任意的 $ t \geqslant 0 $ ， $ \theta tp $ 与 $ p $ 同分布，则称 $ p $ 为平稳的.

- #### 定义3：如果 $ N_p(dtdx) $ 是 $ \left( {0,\infty } \right) \times X $ 上的 $ Poisson $ 随机测度，则称点过程 $ p $ 为 $ Possion $ 点过程.

显然，一个 $ Poisson $ 点过程 $ p $ 是平稳的，当且仅当它的强度 $ N_p(dtdx) $ 具有以下形式： $ N_p(dtdx)=dtn(dx) $ ，

这里 $ n(dx) $ 是 $ (X,{\Re _X}) $ 上的测度，称为 $ p $ 的特征测度.  

- #### 定义4：设 $ \{Y_t\} $ 是实数值过程，如果对于任意的 $ n \in N $ ， $ t_1 < t_2 < \cdots < t_n $ ，若有 $ Y_{t_2}-Y_{t_1}, \cdots , Y_{t_n}-Y_{t_{n-1}} $ 相互独立，则称 $ \{Y_t\} $ 为独立增量过程；如果对于任意的 $ s < t $ ， $ Y_t -Y_s $ 的分布只与 $ t - s $ 有关，则称独立增量过程 $ \{Y_t\} $ 是平稳的. 右连续的平稳独立增量过程称为 $ Levy $ 过程.

- #### 定义 5：对于 $ \{\Omega, F\} $ 上的函数 $ T :\Omega \to \left[ {0, \infty} \right) $ ，如果对于每一个 $ t \geqslant 0 $ ，有 $ \{T \geqslant t \} \in F_t $ ，则称 $ T $ 为停时.

## 2. $ Possion $ 点过程的性质

- #### 定理 1：如果 $ n(dx) $ 是 $ (X,{\Re _X}) $ 上的 $ \sigma $ 有限测度，则存在 $ X $ 上的平稳Poisson 点过程，使其特征测度为 $ n(dx) $ .

证明：对于概率空间 $ (\Omega, F, P) $ 及定义在 $ (\Omega, F, P) $ 上的随机测度 $ N_p(dtdx) $ 是 $ \left( {0, \infty} \right) \times X $ 上的 $ Poisson $ 随机测度，且它的强度为 $ dtn(dx) $ . 取一列集合 $ U_n(n=1,2, \cdots) $ ，使得 $ 0 < n(U_n) < \infty $ ，且 $ U_n $ 是单调递增的， $ \cup _{n-1}^{\infty} U_n=X $ . 对于每一个 $ n $ ，容易看出，过程 $ X_{t}^{(n)} =N \left( {\left( {0,t} \right] \times U} \right) $ 是右连续的 $ Poisson $ 过程，其参数为 $ n( U_n) $ ，因此，事件 $ {\Lambda _n} = \left\{ {\omega |\exists t \in \left( {0,\infty } \right) \to X_t^{(n)} - X_{t - }^{(n)} \geqslant 2} \right\} $ 的概率为零.

令 $ \Lambda  =  \cup _n^\infty {\Lambda _n} $ ，则 $ P(\Lambda) = 0 $ ，且 $ \Lambda =\left\{ {\omega |\exists t \in \left( {0,\infty } \right),N\left( {\left\{ t \right\} \times X} \right) \ge 2} \right\} $ . 取定一个 $ X $ 上的点函数 $ p_0 : D_{p_0} \to X $ ，令 $ D_{p_0}(\omega) $ 如下：当 $ \omega  \notin \Omega $ 时， $ {D_{{p_0}}}(\omega ) = \left\{ {s|\exists x \in X,N\left( {\left\{ {\left( {s,x} \right)} \right\}} \right) > 0} \right\} $ ；当 $ \omega \in \Omega $ 时， $ D_{p_0}=D_p $ . 令 $ p(\omega)(s) $ 形式如下：若 $ s \in D_p(\omega) $ ， $ N({(s, x)}) > 0 $ ， $ \omega \notin \Omega $ ，则有 $ p(w)(s) = x \in X $ ；若 $ s \in D_{p_0} $ ， $ \omega \in \Omega $ ，则有 $ p(w)(s) = p_0(s) $ ；显然， $ p $ 是 $ X $ 上的点过程，且对于任意的 $ t > 0 $ ， $ U \subset \Re_X $ ，有 $ {N_p}\left( {\left( {0,t} \right) \times U} \right) \buildrel \Delta \over = \left\{ {s|\left( {s,p(s)} \right) \in \left( {0,t} \right) \times U} \right\} = \left\{ {(s,x)|(s,x) \in \left( {0,t} \right) \times U} \right\} = N\left( {\left( {0,t} \right) \times U} \right) $ . 因此， $ p $ 是 $ X $ 上的平稳 $ Poisson $ 点过程，且它的特征测度为 $ n(dx) $ .

- #### 定理2：设\{Y_t\}是定义在某一个概率空间 $ (\Omega,\Psi  , P) $ 上的 $ Levy $ 过程， $ \sigma_t(t \geqslant 0) $ 是 $ \Omega $ 上的推移算子，使得 $ Y_t \circ \sigma_t = Y_{t+s} $ . 其中任意的 $ t $ 、 $ s \geqslant 0 $ ，则 $ \{Y_t\} $ 是适应于滤子 $ \{\Psi_t \} $ 的强 $ Markov $ 过程，而 $ \Psi_t = \kappa  \vee \sigma \left( {\left\{ {{Y_s}|s \ge 0} \right\}} \right) $ ， $ \kappa = \{A | \exists B \subset \Re， A  \subset B, P(B) = 0\} $ ， $ t \geqslant 0 $ .

证明：由 $ Kolmogorov 0-1 $ 律可知，滤子 $ \{ Y_t\} $ 是右连续的，且满足通常条件，因此， $ \{ Y_t\} $ 过程是适应于

滤子 $ \{\Psi_t\} $ 的强 $ Markov $ 过程.

- #### 定理 3：对于任意的 $ U \in \Re_X $ ， $ {N_p}\left( {\left( {0,t} \right] \times U} \right) $ 服从参数为 $ t \cdot n(U) $ 的 $ Poisson $ 分布，则 $ p $ 是 $ \mathbb{R} $ 上的 $ Poisson $ 点过程，其特征测度为 $ n(\cdot) $ . 证明过程从略. $ [ $ 注1： $ (\mathbb{R},{\Re _\mathbb{R}}) $ 上的测度 $ n(\cdot) $ 称为 $ Levy $ 过程的 $ Levy $ 测度. 注 2：设 $ n(dx) $ 是 $ (X ,\Re_X ) $ 上的 $ \sigma $ 有限测度， $ (\Omega, \Psi, P) $ 是完备的概率空间， $ p $ 是定义在 $ (\Omega, \Psi, P) $ 上平稳的点 $ Poisson $ 过程，其特征测度为 $ n(dx) $ $ ] $ .

- #### 定理4：若 $ f (\cdot) $ 是 $ ( X $ 上的 $ Re_X) $ 一非负可测函数， $ \int_X {f(x)n(dx)} < \infty   $ ，则 $ {X_t} = \sum\limits_{s \in {D_p},s \leqslant t} {f(p)}  = \int_{\left( {0,t} \right]} {\int_X {f(x)N(dsdx)} }  < \infty $ ， $ (t \geqslant  0) $ 是 $ Levy $ 过程，且对任意 $ t \geqslant 0 $ 有 $ E\{X_t\} = t \int_X {f(x)n(dx)} $ ，令 $ \kappa = \{A| A \in F, P(A) = 0 \} $ ，对任意 $ t \geqslant 0 $ ，令 $ {F_t} = \kappa  \vee \sigma \left( {\left\{ {{N_p}\left( {\left( {0,s} \right] \times U} \right)|s \leqslant t,U \in {\Re _X}} \right\}} \right) $ ，由 $ Kolmogorov 0-1 $ 律，滤子 $ \{ F_t\} $ 右连续，满足通常条件.

- #### 定理 5：如果 $ f (\cdot) $ 是 $ ( X $ 上的 $ \Re_X ) $ 一非负可测函数， $ \{Z_t\}_{t \geqslant 0} $ 是适应于 $ \{F_t \} $ 的非负可料过程，则有

$$ E\left\{ {\sum\limits_{s \in D,s \leqslant t} {{Z_s}f\left( {p(s)} \right)} } \right\} = E\left\{ {\int_0^t {{Z_s}ds\int_X {f(x)n(dx)} } } \right\} $$

证明：因为 $ X_t = {\sum\limits_{s \in D,s \leqslant t} {f(p)} } $ , $ t \geqslant 0 $ 是右连续的独立增量过程，并且对于任意的 $ t > s \geqslant 0 $ ，由于 $ E\left\{ {{X_t} - t\int_X {f(x)n(dx)|{F_s}} } \right\} = E\left\{ {{X_t} - {X_s}|{F_s}} \right\} - t\int_X {f(x)n(dx)}  + {X_s} = E\left\{ {{X_{t - s}}} \right\} - t\int_X {f(x)n(dx)}  + {X_s} = (t - s)\int_X {f(x)n(dx)}  - t\int_X {f(x)n(dx)}  + X = {X_s} - s\int_X {f(x)n(dx)} $ ，所以， $ \left\{ {{X_t} - t\int_X {f(x)n(dx)} } \right\} $ 是右连续的 $ \{ F_t \} $ .

对于任意的有界停时 $ S $ 、 $ T $ ，且 $ S < T $ ，则有 $ E\left\{ {{X_T} - T\int_X {f(x)n(dx)} } \right\} = E\left\{ {{X_S} - S\int_X {f(x)n(dx)} } \right\} $ ，即 $ E\left\{ {\sum\limits_{s \in D,s \leqslant t} {f(p)} } \right\} = E\left\{ {{X_t} - {X_s}} \right\} = E\left\{ {\int_{\left( {S,T} \right]} {\int_X {f(x)n(ds)} } } \right\} $ ，这意味着 $ E\left\{ {\sum\limits_{s \in D,s \leqslant t} {{Z_s}f\left( {p(s)} \right)} } \right\} = E\left\{ {\int_0^t {{Z_s}ds\int_X {f(x)n(dx)} } } \right\} $ ，对于可料过程 $ \left\{ {{Z_t} = {I_{\left( {S,T} \right]}}(t)} \right\} $ 是成立的，即上式对于任意可料过程都成立.

## 参考文献：

> - [1] 斯奈德D L.随机点过程[M].梁之舜，邓永录，译.北京：人民教育出版社，1982：22-36.

- [2] LEWIS P A W. Stochastic Point Processes: Stochastical Analysis, Theory and Applications[M]. New York: John Wiley & Sons, 1972: 68-89.

- [3] 邓永录，梁之舜.随机点过程及其应用[M].北京：科学出版社，1992：17-87.

- [4] 夏冬晴，补爱军，蒋耀龙.基于泊松过程的模拟方法研究[J].邵阳学院学报，2007，4(1)：7-8.

- [5] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001：425-431.

- [6] 张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004：33-45.

- [7] 卞国瑞，吴立德，李贤平，等.概率论：2 册[M].北京：人民教育出版社，1980：226-256.