codeforces 225E E. Unsolvable(梅森素数+数学)

题目链接：

codeforces 225E

题目大意：

给出一个等式，$z=[\frac{x}{2}]+y+x \cdot y$，求另这个等式无解的z，从小到大排序，访问第i个。

题目分析：

• 首先为了简便计算先要通过分奇偶去掉向下取整符号，原式转换为如下形式：
  $$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} & z = k + y + 2ky\ , x = 2k &&(1) \& z = k + y + (2k+1) \cdot y \ , x = 2k+1 && (2)\\end{aligned} \right. \end{aligned}$$
• 对于(1)式我们采取如下推到过程进行推导：
  $$\begin{aligned} & z = k + y + 2ky , k >=0 \& \Rightarrow 2z+1 = 2k+2y+4ky+1 \\ & \Rightarrow 2z+1 = (2k+1)\cdot (2y+1) &&(3)\\end{aligned}$$
• 对于(2)式我们采取如下的推导过程进行推导：
  $$\begin{aligned} & z = k+y+(2k+1)\cdot y ，k \geq 0\& \Rightarrow z +1 = k+2y+2ky+1 \& \Rightarrow z+1= (k+1)\cdot(2y+1) &&(4)\\end{aligned}$$
• 那么由(4)式得，要想让原式无解，我们能够知道2y+1能够构造出所有的奇数，k+1能够造出所有正整数，任意正整数可以分解为$k\cdot2^t,k是一个奇数$,因为2y+1能够构造所有大于1的奇数，所以对于2^t的数是不能构造的，所以$z=2^t-1$
• 那么由(3)式得，要想让原式无解，我们能够知道2y+1和2k+1能够构造出所有大于1的奇数，判断当前的式子对于(4)不能够构建的$2^t-1$,$2z+1= 2\cdot (2^t-1) + 1 = 2^{t+1}-1$,发现一定是个奇数，两个大于1的奇数，一定能够构造出所有非素数的奇数，因为奇数乘奇数一定还是奇数，素数不能分解为两个大于1的因数，所以斯说$2^{t+1}-1为素数的2^t-1的z不能构造$
• 所以另$z=2^t-1,2^{t+1}-1$是梅森素数，打一个表就可以得到所有梅森素数的t+1，然后得到t，算出40个梅森素数即可

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod = 1e9+7;

int a[45] = {2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,
             19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839,859433,1257787,1398269,
             2976221,3021377,6972593,13466917,20996011};

int n;

LL pp ( LL num , LL x )
{
    LL ret = 1;
    while ( x )
    {
        if ( x&1 ) 
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        printf ( "%I64d\n" , pp ( 2 , a[n-1]-1 ) -1 );
    }
}