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抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。
具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的系统。矩阵（线性空间）为双运算系统提供了丰富的可能性，教材中的例子也避不开它，但你也只需知道一些基本概念就行，线性代数今后将作为专门的课题讨论。
考察上面提到的常见系统，它们的加法群都是交换群，故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。为方便起见可直接称其为加群，加群的单位元称为零元素（记作\(0\)）。加群的所有表达式都可以写为加减法，加法的“幂”可以用倍数表示。你可以证明，以下常见的变形都是成立的，今后可以直接使用。
\[a+0=a;\quad a-a=0;\quad -(-a)=a;\quad -(a+b)=-a-b;\quad -(a-b)=b-a\tag{1}\]
\[-(na)=(-n)a;\quad ma+na=(m+n)a;\quad m(na)=(mn)a;\quad n(a+b)=na+nb\tag{2}\]
以上系统的中的乘法群就比较弱了，但至少组合律是成立的，所以它是一个半群。如果我们定义的系统只有两个孤立的运算，也大可不必做这样的研究。研究常见的系统，可以发现乘法和加法满足以下分配律。至此我们就可以定义新的系统了，一个运算为加法群，另一个运算为半群，且它们满足分配率，这样的系统称为环（ring），一般用字母\(R\)表示，乘法可交换的环叫交换环。乘法如果有单位元，按照惯例一般记作\(1\)。
\[a(b+c)=ab+bc;\quad (a+b)c=ac+bc\tag{3}\]
如果你仔细观察分配率，可以发现其中有同态映射的影子，这其实也是还有着各种性质的主要原因。现在来看看加法在结合了乘法后，都有哪些性质，我们以前熟悉的表达式变形还能不能成立。首先对于特殊的\(0\)元素，因为\(0a+0a=(0+0)a\)，容易有\(0a=0\)，零元素在乘法下将所有元素归为\(0\)。再来看\((-a)b\)，因为\((-a)b+ab=(-a+a)b=0\)，故有\((-a)b=-ab\)。这些都是以前就熟悉的表达式，它们在环里都是成立的。下面是更多的常用表达式，证明比较容易。
\[0a=a0=0;\quad (-a)b=a(-b)=-ab;\quad c(a-b)=ca-cb\tag{4}\]
\[\sum{a_i}\sum{b_j}=\sum\sum{a_ib_j};\quad (ma)(nb)=(mn)(ab)\tag{5}\]
很自然地，可以定义子环，它是进一步研究环结构的基本定义。子环除了是加群的子群外，还需对乘法封闭，这些比较容易证明。和单运算系统一样，可以定义环同构，如果两个环\(R_1,R_2\)之间存在一一映射\(f\)，且映射保持运算（公式（6）），则称\(R_1,R_2\)同构（\(R_1\cong R_2\)）。
\[f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{6}\]
环中也可以对单位元和逆进行讨论，由于两个运算的相互作用，往往会表现出有趣的性质，但证明中也需要巧妙的构造。比如考察有单位元的环\(R\)，如果元素\(a\)有至少两个右逆元，记逆元的集合为\(\{a_k\}\)。考察集合\(\{a_ka-1+a_1\}\)，容易证明它们都是右逆元且互不相等，从而这两个集合存在一一映射。如果集合是有限的，则存在\(a_xa-1+a_1=a_1\)，化简后两边同时乘以\(a_y\)得\(a_x=a_y\)，从而所有右逆元相等。这就导致了矛盾，所以右逆元必然有无穷多个，而有限环最多只能有一个右逆元，这个结论称为Kaplanskey定理。
• 每个元素都是幂等元\(a^2=a\)的环叫布尔环，求证\(a=-a\)且\(ab=ba\)；
• 环\(R\)有单位元，求证加法交换律可由定义的其它部分证明；（提示：分配率的不交换性）
• 求证：唯一的左（右）单位元必定是单位元；（提示：构造\(ae_l-a+e_l\)）
• 如果\(1+ab\)可逆，则\(1+ba\)也可逆；（提示：构造）
• 求证：交换环中所有满足\(a^n=0\)的元素组成子环。
零元素在环中有着特殊的地位，它如同黑洞一般讲所有元素吸入，使得环的局部呈现坍塌。反之，环的整体结构还是得靠那些能逃脱\(0\)的“引力”的元素撑起来。为此定义\(ab=0\)中的\(a,b\ne 0\)分别为环的左、右零因子，不是零因子的元素叫正则元，正则元就是我们要找的“支撑元素”。无零因子是对乘法的一个约束，它本质上是要求乘法封闭。有一类特殊的零因子满足\(a^n=0\)，它们被称为幂零元。
显然有无左零因子和有无右零因子是等价的，这样的环也称为无零因子环，交换的无零因子环叫整环（domain）（有些教材还要求含单位元，这里不采用）。对无零因子环，若有\(ab=ac\)或\(ba=ca\)，由分配率显然有\(b=c\)，即消去律成立。反之若左（右）消去律成立，也容易得到环无零因子，由此消去律和无零因子是两个等价概念。
若对于无零因子环有左单位元\(e_l\)，由于\((ae_l-a)e_l=0\)，则有\(ae_l=a\)，故环有单位元，用同样的方法可证其左逆元也是右逆元。这个例子表现了零因子的概念在建立等式上的丰富作用，善于构造巧妙的表达式，可以得到很多有用的结论。有些场景下可能不存在单位元，对\(ab=a\)不能急于消去\(a\)，而是要迂回使用消去律，这个方法经常用到。比如若无零因子环有幂等元\(x^2=x\)，不能直接消去得到\(x=e\)，而是先乘上任意元素\(ax^2=ax\)，然后再消去\(x\)证明\(x\)就是单位元。考虑以下问题：
• 若\(S\leqslant R\)，但它们的单位元不同，求证\(S\)的单位元是\(R\)的零因子；
• 含有至少\(3\)个元素的布尔环不是整环；
• 若有限环中有\(ab=1\)，则\(ba=1\)。（提示：参考Kaplanskey定理的证明）
阶是群的重要参数，现在来看看加法群中元素的阶，如果其中有最大值\(n\)，由于加法群是交换群，用反证法可知所有元素的阶都是\(n\)的因子。加法群的阶在环中还有更多的性质，我们将最大的阶称为环的特征，记作\(\text{Char}\:R\)，当然特征也可以是无穷。如果乘法有单位元且阶为\(n\)，则有\(na=(n1)a=0\)，故\(1\)的阶即是环的特征。特征为\(p\)，且恒有\(a^p=a\)的环叫\(p\)-环，可以证明\(p\)-环都是循环环（较复杂）。
环中的乘法运算有个很有用的性质，就是倍数可以任意移动组合（公式（5）），这个特征结合无零因子可以得到很好的性质。先假设环中有一个阶为\(n\)的元素\(a\)，那么根据\((na)b=a(nb)=0\)，容易知道\(b\)的阶为\(n\)的因子，并进而得知环中所有元素的阶都是\(n\)。再假设\(n\)不是素数，它有分解\(n=xy\)，则有\((na)a=(xa)(ya)=0\)，从而必有\(xa=0\)或\(ya=0\)，这与\(a\)的阶为\(n\)矛盾。综合以上分析可知，无零因子环元素的阶要么都是无穷，要么都是某个素数\(p\)，有限无零因子环的阶当然都是\(p\)。
• 若交换环的特征为\(p\)，则有\((\sum{a_k})^p=\sum{a_k^p}\)；
• 求证：\(p\)-环没有幂零元。
有些环在乘法上有更多的性质，有必要专门讨论它们。对于那些有单位元的环，其中存在逆元的元素一般称为单位（unit）。容易证明环中的全体单位在乘法下构成群，它被称为单位群。对于有限环，总有\(a^m=a^n(m>n\geqslant 1)\)成立，如果\(a\)是非零因子，则有\(a^{m-n+1}=a\)。继而对任意\(x\)有\(a^{m-n}x=x\)，即得到\(a^{m-n}\)为单位元，而\(a^{m-n+1}\)是\(a\)的逆元。总结以上就得到，有限环的非零因子是单位。
除零因子外，每个元素都是单位的环称为除环或体（skew field），交换除环也叫域（field）。容易证明除环没有零因子，由此可知在去除零元素之后，乘法仍然是封闭的，它们能够形成一个群。数系是除环和域的典型代表，整数环有单位\(\{-1,1\}\)，有理数、实数、复数都是域的例子。由于域的乘法可交换，可以定义\(ab^{-1}=b^{-1}a\)为分式\(\dfrac{a}{b}\)，你可以证明一般方式的加法、乘法、除法规则在域里也是成立的。
• 若环\(R\)中的任何非零元素\(a\)，都有唯一的\(b\in R\)使得\(aba=a\)，求证\(R\)为除环。（提示：先证无零因子）
你可能有一个疑问，存不存在除环呢？乘法有单位元和逆元，却不可交换的环存在吗？还记得第一章里介绍的四元群吗，由它们作为“超复数”的单位形成四元数\(\{a+bi+cj+dk\}\)，可以证明它就是非交换的除环。这是历史上首次发现的非交换除环，由哈密尔顿（Hamilton）首先发现，因此也叫哈密尔顿四元数除环。后面的课程中，还会介绍到它作为数满足的一般性质，这在历史上是一个重大的发现。对于有限除环，魏德邦（Wedderbum）证明了它的必定是交换的，故必然是域。由前面的讨论我们容易有，有限无零因子环必定是除环，再由魏德邦定理知它又必定是域。
Hamilton（1805 - 1865）
之前群的定义中，我们讨论了一次方程有解与群的等价性。在除环里也有类似的结论，而且所需条件更弱。首先除环中一次方程（7）都有解，反之若环中满足方程（7）其中之一有解，下面来看它是否是除环。首先要证无零因子，即对任意\(a,b\ne 0\)，证明\(ab\ne 0\)。可以构造一个含有\(ab\)而值为\(b\)（或\(a\)）的表达式，利用一次方程的有解性可有\(bc=d\)和\(ad=b\)，从而\(abc=ad=b\)，则环无零因子。接下来找单位元，设\(ax=a\)的解为\(e_r\)，利用消去律（见上面的讨论）可知\(e_r\)为右单位元。再由\(ax=e_r\)知任何元素\(a\)有右逆元，从而乘法（除去零元）是一个群，该环为除环。综合以上讨论，环为除环的充要条件是一次方程（7）之一恒有解（\(a\ne 0\)）。
\[ax=b,\quad ya=b\tag{7}\]
域的结构是最常见的，它的结论比较丰富，我们希望能把一个环放在域中，以便获得更多的结论。显然不是所有的环都可以扩展为域，它至少要满足无零因子和可交换。自然地我们想问，是不是该先考虑无零因子的不可交换环扩展为除环，可惜这个结论已经有人举出反例了，比较复杂，这里仅当结论。那么无零因子可交换环（整环）是不是都能扩展为域呢？这里就来讨论这个问题。
要想成为域，需要补充单位元和逆元，但硬要把它们定义出来还是很困难的。回顾一下我们在实数系统介绍的扩展方法，可以用数对来定义扩展的数系，再将原数系嵌入到新数系中。添加单位元和逆元本质上需要做除法，和整数扩展为有理数的过程完全一样，定义元素对的集合\(\{(a,b)\}(a,b\in R, a\ne 0)\)。当\(ad=bc\)时，定义相等\((a,b)=(c,d)\)，直观上讲其实就是定义了分数\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)。
相等关系下的等价类正是我们期望的系统，首先证明新系统的如下加法和乘法定义是良性的，即等价类中代表元的选取不影响结果。然后证明，新系统在这个运算定义下形成一个域，最后通过映射\(a\to \dfrac{ad}{d}\)将环嵌入到这个域中。这就证明了无零交换环总可以扩展为域，这个域也叫环的分式域或商域。
\[\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}=\dfrac{bc+ad}{ac},\quad \dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{bd}{ac}\tag{8}\]
循环群是最简单的群，那这里先分析一下加法群是循环群的环，它称为循环环，设加法群的生成元为\(a\)。回顾一下循环群，若它的阶为无穷，它与整数群同构且同时\(-a\)也是生成元，若阶为有限\(n\)，它与\(n\)的剩余类群同构，且任何与\(n\)互素的剩余类都是生成元。显然整数集合\(Z\)和任何剩余类集合\(Z_n\)在加法和乘法定义下构成环，分别称为整数环和模\(n\)剩余类环，下面就来分析一下循环环和它们之间的关系。
先来看循环环，它的所有元素是\(\{\cdots,-2a,-a,0,a,2a,\cdots\}\)或\(0,a,2a,\cdots,(n-1)a\)。它们在加法群下，每一个不同的阶仅有一个同构的循环群，但这一点在环里却是不成立的。现在来考虑循环环中的乘法，首先对任意两个元素有\((ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a^2\)，故循环环必定是交换环。其次由乘法的封闭性，一定有\(a^2=ka\)，而反过来若在一个循环群上定义乘法\((ma)(na)=(mnk)a\)，它也一定构成环。由此可知，\(k\)的任何取值都等价于一个环结构，当然你要清楚，不同的\(k\)对应的环是有可能同构的。
对于无穷阶环，加法生成元只有\(\pm a\)，当\(|k|\)取不同值时，对应的环一定互不同构，而容易证明\(k\)和\(-k\)对应的环是同构的。对于\(n\)阶环，\(k\)只能取\(n\)个值，而这些值对应的环还有可能是同构的。使用初等数论的一些简单推导，容易证明可以通过选取适当的生成元，使得\(k\)为\(n\)的因子。从而\(n\)的每个因子代表了一类同构的环，同不同因子对应的环是不同构的。
这样循环环的所有同构环就清楚了，每一个非负整数对应一个无穷环，每一个因子对应一个\(n\)阶环。最后来看看整数环和剩余类环，显然它们的生成元满足\(k=1\)，而它们的子环满足\(k>1\)。\(Z\)的所有子环与正整数一一对应，\(Z_n\)的所有子环与\(n\)的正因子一一对应，而它们包含了除\(k=0\)之外的所有循环环。换句话说除\(k=0\)之外，每个循环环与一个\(Z\)或\(Z_n\)的子环同构。
现在做一些常规讨论，\(Z\)只有可逆元\(\pm 1\)，所有元素为非零因子，\(Z_n\)中与\(n\)互素的都是可逆元，而其它都是零因子。特别地，\(Z_p\)的每个元素可逆，故它是一个域，而且还是一个\(p\)-环。由于\(Z\)和\(Z_n\)都有单位元，单位元的阶就是它们特征，所以\(Z\)的特征为无穷，而\(\text{Char}\: Z_n=n\)。
将环向多维空间扩展，是得到更多复杂环的常用方法，扩展的形式也是多种多样的。矩阵环可以得到非常丰富的环结构，简单一点的还有在线性空间的简单拓展，比如无理数环\(\{x+y\sqrt{2}\mid x,y\in\Bbb{Q}\}\)和复数环\(\{x+yi\mid x,y\in\Bbb{R}\}\)，特别地\(\{x+yi\mid x,y\in\Bbb{Z}\}\)叫做高斯整环。
线性扩展中最一般的当属多项式，多项式一直是代数中的重要概念，它是一个基本的代数对象，现在从环的角度来分析一下多项式系统。先从最常见的一元多项式说起，它是具有以下形式的表达式，其中\(a_k\)是环\(R\)的元素，\(a_kx^k\)称为\(k\)次项，\(a_k\)称为\(k\)次项系数，系数非零的最高次数称为多项式的次数。
\[f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\tag{9}\]
大家最初是在域的环境下认识多项式的，这里的限制要求重新定义对多项式的一般认识。首先多项式中的加号和\(a_kx^k\)中的“乘号”目前仅是一个记号，两个多项式相等的充要条件是每一项的系数相等，而不是最终的值相等。现在需要重新定义运算，两个次数相同的项\(a_kx^k,b_kx^k\)之和为\((a_k+b_k)x^k\)，而两项\(a_ix^i,b_jx^j\)之积为\(a_ib_jx^{i+j}\)，两个多项式相乘时按分配率展开。以上定义对域上的环是不需要定义的，但在环下必须有这样的精确说明。
容易证明在环\(R\)上的多项式集合在以上加法和乘法定义下构成环，一般记作\(R[x]\)。显然\(R\)是\(R[x]\)的子环，故对\(R[x]\)成立的一般对\(R\)也一定成立，但反过来的结论一般要证明。有一些比较显然的结论，比如如果\(R\)有单位元则\(R[x]\)也有单位元，如果\(R\)可交换则\(R[x]\)也可交换，如果\(R\)为整环则\(R[x]\)也是整环。现在来看看\(R[x]\)的零因子有什么性质，假设\(f(x)g(x)=0\)，设\(g(x)\)的首项系数为\(g_n\)，则\(f(x)g_n\)的次数比\(f(x)\)小。如果再假设环可交换，则有\((g_nf(x))g(x)=0\)，用归纳法可知存在\(c\in R\)，使得\(cg(x)=0\)。总结以上讨论有，交换环\(R[x]\)的元素\(g(x)\)是零因子的充要条件是，存在\(cg(x)=0\)。
整数环的分解性（算术基本定理）是初等数论的重要内容，在一般环中仍然可以进行这样的讨论，后面会给出专题。除了多项式环，还有一个重要的高斯整数，也是重要的环。多项式要扩展成域，必定引入有理分式域。
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