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同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环\(R_1\)到另一个系统\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称\(R_1,R_2\)同态，记作\(R_1\sim R_2\)。容易证明\(R_2\)也是环，且\(R_1\)的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到\(R_2\)中，但零因子却不一定保持。
\[f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{1}\]
• 求证：\(Z_m\sim Z_n\)的充要条件是\(n\mid m\)。
在群中已经知道，任何同态映射都对应于一个正规子群（同态核），同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样，环同态的同态核就是\(R_2\)中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环，正如正规子群的特殊性一样，它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性，同态核一定满足以下条件。一般地，环\(R\)中的加法子群\(N\)如果满足以下右边一式，它称为环的左（右）理想，两式都满足的叫理想，记作\(N\trianglelefteq R\)，容易证明理想（包括左右理想）都是子环。
\[n\in N,\: r\in R\quad\Rightarrow\quad rn\in N,\: nr\in N\tag{2}\]
由定义知理想首先是加法群的子群，故它在加法下是正规子群。容易证明，加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射（乘法封闭），故环的每个同态映射也与环的理想一一对应，理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样，理想不具有传递性，即理想的理想不一定是理想。容易证明，理想的交集还是理想，循环环的任何子环都是它的理想。对一般环\(R\)，显然\(Ra\)和\(aR\)分别是它的左右理想。
理想是一种特殊的子环，每个环\(R\)都有\(\{0\}\)和\(R\)两个平凡理想，其它理想叫真理想，没有真理想的环叫单环。从理想的定义知，对任何\(n\in N\)有\(nR\subseteq N\)，相比较群来看，这个结构是“坍塌”的，由此联想到单环和“好”的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域，若它们有非零理想\(N\)，由\(aa^{-1}=1\)知\(1\in N\)，从而\(N=R\)，也就是说除环和域必定是单环。
对于任何环\(R\)，因为\(Ra\)是它的左理想，如果\(R\)没有非平凡的左理想，则\(Ra\)为\(R\)或\(\{0\}\)。如果存在\(Ra=\{0\}\)，容易证明\(a\)的生成环为理想，从而该生成环就是\(R\)，它是一个零乘环。反之如果\(Ra=R\)总成立，即一次方程\(ya=b\)总有解，故\(R\)是一个除环。综合以上讨论，如果环没有非平凡的左理想（或右理想），它要么为零乘环，要么为除环。
• 若\(H\trianglelefteq N\trianglelefteq R\)且\(N\)有单位元，求证\(H\trianglelefteq R\)；
• 求证：仅有有限个理想的整环是域。（提示：考察所有左理想\(Ra\)）
从前面的讨论已经知道，环\(R\)的理想\(N\)的所有陪集形成一个环，它与以理想为核的同态映射的像同构，被称为商环，记作\(R/N\)。与群论中一样，这个结论称为环的同态定理，它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理，它们与群的同构定理非常类似，就不多做说明了。
（1）第一同构定理：\(R/\text{Ker}\:f\cong f(R)\)；
（2）第二同构定理：\(N\trianglelefteq R,\:H\leqslant R\quad\Rightarrow\quad (H+N)/N\cong H/(H\cap N)\)；
（3）第三同构定理：\(H,N\trianglelefteq R,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad R/H\cong (R/N)/(H/N)\)。
• 讨论高斯整环在主理想\(\langle m+ni\rangle\)下的商群，证明其有\(m^2+n^2\)个元素，并列出代表元。（提示：先从虚数分大类，再讨论整数类）
对于环的任何子集，我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明，元素\(a\)生成的加法子群是个循环环，所以它就是\(a\)的生成子环。由元素\(a\)生成的理想叫一个主理想（Principal Ideal），记作\(\langle a\rangle\)，下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含\(a\)生成的加法群\(\{na\}\)，要求它是理想就必须包含\(Ra,aR\)，在加法的封闭性下它们具有统一格式\(ax+by+na\)。接下来根据乘法的封闭性知，其中还必须包括\(RaR\)，它的统一格式被扩展为\(ax+by+na+\sum{x_kay_k}\)。现在你可以证明，这种形式的所有元素构成一个理想，故它就是\(a\)生成的主理想。
\[\langle a\rangle=\{ax+by+na+\sum_{k=1}^{m}{x_kay_k}\}\tag{3}\]
总结就得到主理想的每个元素具有式（3）的形式，其中\(m,n\)整数（构造步数是有限的）。在特殊情况下，会有更简单的表达式，请自行推导。比如如果乘法可交换，则形式变为\(ax+na\)。当有单位元时，表达式可统一为\(\sum\limits_{k=1}^{m}{x_kay_k}\)。既可交换又有单位元，则简化为\(ax\)。特别地，循环环的每个理想都是主理想。
现在再来看由多个元素生成的环，它的结构形式是复杂的，但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明，如果\(R_k\)为理想，则\(\sum{R_k}\)也为理想。这样对于任何子集\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，\(\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\)是一个理想，而且显然它由\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)生成的最小理想，从而有下式成立。
\[\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\tag{4}\]
我们已经提到过，一般的环其实很不“完美”，有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理，可以尝试取适当的理想，将商环变得“完美”一点。首先来考虑商环\(R/N\)是整环的情景，整环首先无零因子，如果有\((a+N)(b+N)=N\)，则其中必有一个为\(N\)。展开后就得到，如果有\(ab\in N\)，则必定有\(a\in N\)或\(b\in N\)。当然整环还要求可交换，在一个交换环中，满足以下条件的理想叫素理想。容易证明，交换环的商群\(R/N\)是整环的充要条件是\(N\)为素理想。
\[ab\in N\quad\Rightarrow \quad a\in N\:\vee\: b\in N\tag{5}\]
根据第三同构定理，要使\(R/N\)为单环，必须不能有比\(N\)更“大”的理想。准确的定义是：如果\(N\ne R\)，且除\(N,R\)外没有包含\(N\)的理想，则\(N\)称为\(R\)的极大理想。比较显然，\(N\)为极大理想的充要条件是为\(R/N\)为单环。综合前面单环的结论可知，如果\(R\)有单位元，则\(R/N\)为除环的充要条件是\(N\)为极大理想，加上可交换的条件，结论就对域也成立了。
• 求证：\(Z\)的全部素理想为\(\{0\}\)和\(\langle p\rangle\)；
• 求证：\(Z\)的极大理想只有\(\langle p\rangle\)。
在群论中我们看到，直积分解是解构群的最好的方法，这个思想同样可以应用到环中。对环\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)，容易证明集合\(R=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid a_k\in R_k\}\)在以下运算下也形成环，\(R\)一般称为\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的外直和。\(R\)的理想\(R‘_k=\{(0,\cdots,0,a_k,0\cdots,0)\mid a_k\in R_k\}\)与\(R_k\)同构，且\(R=R‘_1+R‘_2+\cdots+R‘_n\)，而且每个元素的和分解是唯一的。
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\tag{6}\]
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)\cdot(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)\tag{7}\]
鉴于以上讨论，当环\(R\)有理想\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)满足：（1）\(R=R_1+R_2+\cdots+R_n\)；（2）\(R\)中的任何元素\(a\)可以唯一表示为\(a=a_1+a_2+\cdots+a_n,(a_k\in R_k)\)。则称\(R\)为\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的内直和，简称直和，记作\(R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_n\)。
定义中第二个条件有更容易使用的等价形式，一个是零元素的表示法唯一，另一个是每个直和项的独立性（公式（8））。第二个等价条件说明了直和项的无关性，即\(R_i\cap R_j=\{0\}\)，如果有\(a_i\in R_i,b_j\in R_j\)，则\(a_ib_j\in R_i+R_j\)，所以\(a_ib_j=0\)。进一步如果\(a,b\)有直和分解\(a=a_1+\cdots+a_n,b=b_1+\cdots+b_n\)，可以有公式（9）成立，即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解，它将大的环分解为无关的小环来研究。
\[R_k\cap (R_1+\cdots+R_{k-1}+R_{k+1}+\cdots+R_n)=\{0\}\tag{8}\]
\[ab=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\tag{9}\]
直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质，现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想\(N\trianglelefteq R_k\)，则对任意\(n\in N\)，有\(nR=n(N_1+\cdots+N_n)=nN_k\in N\)，同理有\(Rn\in N\)。从而有\(N\trianglelefteq R\)，即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有，直和项的理想\(N_k\trianglelefteq R_k\)的直和也是\(R\)的理想（公式（10））。
\[N_1\oplus N_2\oplus\cdots\oplus N_n\trianglelefteq R\tag{10}\]
反之对任何一个理想\(N\trianglelefteq R\)，\(N_k=N\cap R_k\)也是理想，那么\(N\)是否是\(N_k\)的直和呢？本质上只要证明任何\(n\in N\)，它的直和分解满足\(n_k\in N\)。要使得这个性质成立，需要借助单位元\(1_k\)，\(n_k=1_kn\in N\)，故可以假设\(R\)存在单位元，使得反命题成立，因为单位元的直和分解便得到\(R_k\)的单位元。
现在的问题自然是，什么样的环有直和分解？如何进行直和分解？假设\(R\)的特征为\(n\)，且有互质分解\(n=n_1n_2\)，我们希望\(R\)可以分解为特征值分别为\(n_1,n_2\)的直和项。由于\(n_1,n_2\)互质，则存在\(sn_1+tn_2=1\)，考察集合\(R_1=\{sn_1a\mid a\in R\}\)和\(R_2=\{tn_2a\mid a\in R\}\)。首先容易证明它们都是理想，再由于\(a=sn_1a+tn_2a\)，故有\(R=R_1+R_2\)。假设\(a\in R_1\cap R_2\)，则容易有\(n_1a=n_2a=0\)，进而得到\(a=0\)，所以\(R_1\cap R_2=\{0\}\)，从而\(R=R_1\oplus R_2\)。
最后来计算\(R_1,R_2\)的特征\(m_1,m_2\)，根据\(R_1,R_2\)的定义先有\(m_1\leqslant n_1,m_2\leqslant n_2\)，再由\(n\)是\(R\)特征有\(m_1m_2\geqslant n\)，从而\(m_1=n_1,m_2=n_2\)。至此结论得证，如果对\(n\)进行素数分解\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}\)，就可以将环分解为幂次特征的直和项（公式（11））。
\[R=R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_m,\quad\text{Char}\,R_k=p_k^{\alpha_k}\tag{11}\]
先来粗略讨论一下环的存在性，显然任何阶的交换环都是存在的，比如\(Z_n,Z\)。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子，我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗？在群论中我们知道，任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环\(R\)的加法也有\((R,+)=\langle b_1\rangle\oplus\cdots\oplus\langle b_m\rangle\)，其中\(|b_k|\mid |b_{k+1}|\)。如果\(n=|R|\)不含高于一次的因子，则\(R=\langle b_1\rangle\)为循环环，从而是可交换的。这样就知道，一个非交换环必定是含有有平方因子\(n=n_1^2n_2\)。
反之对这样的\(n\)，其实也是可以构造出一个非交换环的，我们只需构造出一个非交换的\(n_1^2\)阶环，它与任何\(n_2\)阶环的直和便是\(n\)阶非交换环。对于一个\(n_1\)阶环R，考察二元组\((x,y)\)集合，定义加法和乘法如下，容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是，环的阶含有平方因子。
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),\quad (x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2+y_2)(x_1,y_1)\tag{12}\]
最后我们用环的语言来描述“中国剩余定理”，回顾定理的内容：若\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)互质，则方程组\(x\equiv a_k\pmod{m_k},(k=1,2,\cdots,n)\)在模\(m_1m_2\cdots m_n\)下有且仅有一个解。站在环的角度，\(m_k\)的同余类是一个主理想环，因此考察环\(R\)的理想\(I_1,I_2,\cdots,I_n\)。\(m_i,m_j\)互素可以说成是\(I_i\oplus I_j=R\)，而要证的结论则是公式（13）。
\[R/\cap I_k\cong R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\tag{13}\]
首先容易验证\(R\to R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\)是同态映射，如果能证明它是满射，由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的，我们需要为每一维构造\(r_k=(\cdots,0,a_k,0\cdots)\)。这个条件等价于\(r_k\in a_k+I_k\)且\(r_k\in (\prod{I_i})/I_k\)，或者说\(R=I_k+(\prod{I_i})/I_k\)。如果环有单位元，该等式可以从\(R=I_i+i_j\)轻易推得，故结论得证。
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