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域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若\(F\)是\(E\)的子域，\(E\)也叫\(F\)的扩域或扩张。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数\(p\)下的剩余类域\(Z_p\)。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为素域，一般记作\(\triangle\)。
那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元\(e\)，由\(e\)生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从\(e\)的生成环\(Z‘=\{ne\}\)讨论起。当\(\text{char}\triangle=\infty\)时，\(Z‘\)与整数环\(Z\)同构，从而它们的商域同构，即\(\triangle\cong\Bbb{Q}\)。当\(\text{char}\triangle=p\)时，前面已经讨论过，这样的环\(Z‘\)都同构于同余环\(Z_p\)，进而有\(\triangle\cong Z_p\)。这样看来，同构意义的下的素域只有\(\Bbb{Q}\)和\(Z_p\)，而且任何域都包含且仅包含一个素域。
有了最简单的域，接下来就开始对域进行扩张，并需要研究新添加元素的性质，以及扩域的结构特点。在\(F\)的扩域\(E\)中取子集\(S\)，\(F\)中添加\(S\)后生成的扩域记作\(F(S)\)，要注意这个定义总是以扩域\(E\)的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质，考察\(F(S_1)(S_2)\)，由定义知它是包含\(F,S_1,S_2\)的域，而\(F(S_1\cup S_2)\)是包含\(F,S_1\cup S_2\)的最小域，故有\(F(S_1\cup S_2)\subseteq F(S_1)(S_2)\)。同样也可以推到\(F(S_1)(S_2)\subseteq F(S_1\cup S_2)\)，这样就得到了公式（1）。
\[F(S_1)(S_2)=F(S_2)(S_1)=F(S_1\cup S_2)\tag{1}\]
以上结论说明扩域\(F(S)\)等价于有限步的局部扩张，而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域，特别地我们可以先专注于\(|S|=1\)的扩域\(F(\alpha)\)，它们被称为单扩域。由域的定义及分式的特点，容易知道\(F(\alpha)\)中的元素都有格式\(\dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\)，其中\({f(\alpha)},{g(\alpha)}\)为\(F\)中的多项式。所有分式构成了单扩域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我们就从这里出发，研究单扩域的结构。
多项式是扩域中的基础结构，对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将\(\alpha\in E\)代入\(F\)中的所有多项式\(F[x]\)，得到的值可能两两不同，也可能出现重复。当出现重复时，将多项式相减就会得到\(f(\alpha)=0\)，存在这样多项式的\(\alpha\)称为\(F\)的代数元，否则称为超越元。代数元和超越元存在着本质的差异，需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张，代数数就是代数元，超越数就是超越元，这里实际上是对它们的扩展讨论。
对于诸多满足\(f(\alpha)=0\)的多项式，总可以找到次数最低的一个首\(1\)多项式。容易证明对代数元\(\alpha\)，这个多项式存在且唯一，它被称为\(\alpha\)在\(F\)上的最小多项式\(p(x)\)。最小多项式的次数也被称为代数元的次数，显然\(F\)中元素的次数都为\(1\)。最小多项式有些简单的性质，首先它在\(F\)上是不可约的，否则它必有一个因子满足\(g(\alpha)=0\)，与最小多项式的定义矛盾。其次，对任何满足\(f(\alpha)=0\)的多项式，必有\(p(x)\mid f(x)\)，否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足\(r(x)=0\)。
围绕着元素类型或最小多项式，单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案，但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始，先验证生成环的同构，再推演到商域的同构，请自行验证。当\(\alpha\)为超越元时，生成环显然和\(F[x]\)同构，从而\(F(\alpha)\)同构于其商环\(F(x)\)。当\(\alpha\)为代数元时，可以证明生成环\(F[x]\)同构于\(F[x]/\langle p(x)\rangle\)，由于\(p(x)\)不可约，该表达式就是一个域，故有\(F[\alpha]=F(\alpha)\)。从而代数元的单扩域就是以\(p(x)\)为模的多项式环（公式（2）），这个结论展示了单代数扩域的简洁结构，也说明了研究代数扩域的重要性。
\[F(\alpha)=F[\alpha]\cong F(x)/\langle p(x)\rangle\tag{2}\]
以上的结果还表明，若\(\alpha\)的次数为\(n\)，则\(F(\alpha)\)的任何元素都是某个次数次数小于\(n\)的多项式的值\(f(\alpha)=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}{\alpha}^{n-1}\)，换句话说每个元素都是\(1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\)在\(F\)上的线性组合，且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是，单代数扩域\(F(\alpha)\)是\(F\)上的一个\(n\)维空间，空间的基为\(1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\)。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。
在弄清楚单代数扩域的结构后，我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域，或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是，这两种扩域一样吗？为讨论方便，我们定义后者为代数扩域，含有超越元的扩域则叫超越扩域。由于代数扩域总是由代数元生成的，刚才的问题自然变成：由代数元集合\(S\)生成的扩域\(F(S)\)是否一定是代数扩域？直觉告诉我们这个结论是成立的，但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测，先考虑\(S\)为有限集的场景，然后再推广到无穷集。
单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数，如果扩域\(E=F(S)\)是\(F\)上的线性空间，这个空间的维数被称为\(E\)在\(F\)上的次数，记作\([E:F]\)。\([E:F]\)有限时，\(E\)称为\(F\)的有限次扩域，否则叫无限次扩域。通过线性代数的简单推演，我们可以得到次数的累加性（公式（3））。以有限次扩域为例，设\(E\)在\(K\)上的基为\(a_1,\cdots,a_m\)，\(K\)在\(F\)上的基为\(b_1,\cdots,b_n\)，容易证明\(a_ib_j\)就是\(E\)在\(F\)上的基（用线性表示并证明无关性）。
\[[E:F]=[E:K][K:F]\tag{3}\]
对任何\(n\)次扩域，考察任意元素的幂次\(1,\alpha,\cdots,\alpha^n\)，这\(n+1\)个元素必定是线性相关的，从而\(\alpha\)必定是代数元。这就是说有限次扩域总是是代数扩域，可以用它来判断代数扩域。另一方面，当代数元集合\(S\)为有限集时，\(F(S)\)可以通过有限次的单代数扩域得到，由公式（3）知道\(F(S)\)是\(F\)的有限次扩域，从而它也是代数扩域。这个结论直接说明了，代数元的四则运算还是代数元。而当\(S\)为无穷集时，\(F(S)\)中元素都能表示成\(F\cup S\)中元素的有限个四则运算，从而也是代数元。结合以上两点就得到结论，\(F(S)\)总是代数扩域。
有了这个基本结论，你可以很容易地证明，\(F\)的代数扩域的代数扩域还是\(F\)的代数扩域。如果扩域\(E\)不是代数扩域，我们可以取出其中的所有代数元，容易证明它们组成的集合\(K\)是一个域，从而\(K\)是\(F\)的代数扩域。\(K\)是\(E\)中最大的代数扩域，\(E-K\)中的元素\(\alpha\)都是超越元，从而\(E\)是\(K\)的纯超越扩域。这样对任何扩域的分析，都可以分成对代数扩域和纯超越扩域的讨论了。
鉴于多项式的特殊地位，有一类与之相关的代数扩域，这里需要特别讨论一下。多项式最重要的自然是它的根，根\(\alpha\)可以从\(f(x)\)中分解出一次项\((x-\alpha)\)，如果\(f(x)\)可以完全分解为一次项，它的所有根就代表了这个多项式。对任何多项式都可以完全分解的域叫代数闭域，显然它的任何代数扩域都还是它自身，它已经无法再扩张。
代数闭域的条件大部分时候还是太强了，也许讨论对某个多项式无法扩张的域对我们更有用。试想\(F\)上的某个多项式\(f(x)\)，如果\(f(x)\)不能完全分解，取其中的不可约因式\(p(x)\)，以它为最小多项式进行扩张，扩域中\(p(x)\)一定是可约的。如此在有限步后，\(f(x)\)就可以在扩域\(E\)中完全分解，而且同构意义下\(E\)是唯一的，它被称为\(f(x)\)在\(F\)上的分裂域。分裂域其实就是\(f(x)\)的所有根的生成的域\(F(x_1,\cdots,x_n)\)，故它也叫根域，分裂域的定义使得对多项式的讨论更加方便，进一步的内容将在下一篇中继续讨论。
介绍了扩域的基本概念后，我们来看看它在作图上的一个应用，以锻炼用抽象概念解决实际问题的能力。尺规作图是传统的作图方法，它使用简单的工具得到复杂而精确的图形。即便如此，历史上任然有一些顽固的作图问题困扰着人们，经典的几个被称为“古典三大作图难题”。它们分别是：三等分角、化圆为方、倍立方，这里我们用扩域的语言来论证它们不能由尺规作出。纵使已经被证明了不可行性，但仍然有人孜孜不倦地做着尝试，科学精神的树立有时候比勤恳更重要。
尺规作图究竟是什么，一般书上对这个问题并没有说清，但它对理解作图难题的不可能性非常重要，以下是一些个人理解。首先我们假定作图的目的是为了得到某些确切的点，而不是一条直线或曲线，否则随意画一条线或一个圆，作图难题要求的量其实就在其中。其次我们要澄清，这里的所有讨论仅限于三大难题或类似的问题，精确地讲就是，作图的已知条件只是一些线段或角。因为事先如果有一些辅助性的曲线，这些难题其实是可以作出的。再次我们还要假定作图的每一步都是从定点出发（线段的端点、角的三个点），不能从线段或角上非给定点作图。有人可能有跟我一样的疑问，如何看待那些任意取点却作出定点的情况（比如作线段中点）？这里我没有作完整的推演，只是猜想用定点同样可以作出那些定点，具体论证且当是一个疑问吧。
现在来看看尺规具体可以作什么：直尺用来画经过两点的直线，圆规只能以某点为圆心、以给定的两点为半径画圆。既然初始条件是平面上的一些点，可以选定其中的两个点作为实数轴上的\(0\)和\(1\)，这样所有点都可以看出复平面上的一个向量（复数），记这些复数的集合为\(B\)。接下来按照前面的描述，用尺规作出确定的直线和圆，得到更多的确定的点，如果把所有可在有限步内可作出的确定点集（复数）记为\(S\)，点\(z\)可被作出的充要条件是\(z\in S\)。
根据解析几何的知识，其实我们可以从已知点出发计算出新点（复数）的坐标，通过简单的验证你可以发现，新的复数总可以表示为\(B\)中元素的四则运算、共轭或平方根的组合（作为习题）。这就是说\(S\)包含在\(B\)关于四则运算、共轭或平方根的闭包中，反之也容易证明任意已知复数的四则运算、共轭或平方根都可以尺规作图（作为习题），这就是给了\(S\)一个确定的定义。
下面尝试用扩域的语言来描述\(S\)，首先容易知道有理数都可以被作出，其次共轭运算在四则运算上是可以保持的，所以可以先定义第一个扩域\(F_1\)（式（4））。为了在平方根上封闭，定义扩域序列\(F_k\)（式（4）），容易证明\(S\)中的任意元素迟早会出现在某个\(F_k\)中，故有\(\cup F_k=S\)。进一步地，\(F_k\)和\(F_{k+1}\)之间其实可以插入有限个单扩域（式子（5））。每个扩域的次数为\(1\)或\(2\)，所以\(S\)中的任何数在\(F_1\)中的次数为\(2\)的幂次，这也就是可作图的充要条件。
\[F_1=\Bbb{Q}(B,\bar{B}),\quad F_{k+1}=F_k(\sqrt{F_k})\tag{4}\]
\[F_k=K_1\triangleleft K_2\triangleleft \cdots\triangleleft K_n=F_{k+1},\quad K_{i+1}=K_i(\sqrt{a_i})\tag{5}\]
现在回到三大作图难题，其中化圆为方和倍立方都是给定两个点，分别作出\(\sqrt[3]{2}\)和\(\pi\)。这两个问题中\(F_1=\Bbb{Q}\)，可作图的只能是在\(\Bbb{Q}\)上\(2^n\)次不可约多项式的根。\(\sqrt[3]{2}\)的最小多项式是\(x^3-2\)，而林德曼证明了\(\pi\)是超越数，故它们都不可以被作出。对三等分角，举\(\dfrac{\pi}{3}\)为例，它给定了复数\(1+\sqrt{3}i\)，容易有\(F_1=\Bbb{Q}(\sqrt{3}i)\)。另外利用三倍角公式知所求复数\(x_0\)是\(f(x)=8x^3-6x-1\)的根，而\(\sqrt{3}i\)不是\(f(x)\)的根，故有\([F_1(x_0):F_1]=3\)，从而\(x_0\)也不可被作出。但并不是说所有角都不可以三等分，比如\(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{3\pi}{10}\)都是可以作出的，请自行验证。
我们已经了解了域的一般性结构，现在需要对一些常用的、简单的域做进一步分析，这些域有着更特殊的性质。有限域是比较有用的一类域，在编码学等离散数学中有着广泛应用。由前面的知识我们可以知道，有限域\(F\)的特征为素数\(p\)，\(F\)中包含一个素域\(\triangle=Z_p\)，且它是\(\triangle\)的有限次扩域，若设\([F:\triangle]=n\)，则\(F\)共有\(p^n\)个元素。这些是有限域比较直观的特点，它有时也被叫做伽罗瓦域，记为\(GF(p^n)\)。现在有两个比较自然的问题：\(p^n\)阶的域一定存在吗？同构意义下它是否唯一？下面将对其进行分析。
域和环最大的区别在于，域在乘法上构成一个群，这是域有诸多结构特征的根本原因。尤其在有限域里，非零元素组成一个有限群，从而非零元素都满足\(a^{q-1}=1,(q=p^n)\)，进而任何元素都满足\(a^q=a\)。由于这\(p^n\)个元素互不相同，从而它们就是多项式\(f(x)=x^q-x\)的根，该域就是\(f(x)\)在\(Z_p\)上的分裂域。前面我们已经知道分裂域的唯一性，所以\(p^n\)在同构意义下是唯一的。
以上讨论也启发了存在性的证明，对多项式\(f(x)=x^q-x\)，设它在\(Z_p\)上的分裂域是\(F\)。在\(F\)上考察\(f(x)\)的任意两个根\(\alpha,\beta\)，容易验证\(\alpha-\beta,\dfrac{\alpha}{\beta}\)也是\(f(x)\)的根，从而所有根构成一个域。另一方面，易知\(f‘(x)=-1\)，从而\(f(x)\)没有重根，故根组成的域有\(p^n\)个元素，这就证明了\(p^n\)阶域的存在性。
进一步讨论域的乘法群，设有非零元素在乘法上的最大阶为\(m\)，首先显然有\(m\mid q-1\)。其次在群论中我们已经知道，任何元素的阶都是\(m\)的因子，从而它们都满足\(f(x)=x^m-1=0\)的根。要使\(f(x)\)有\(q-1\)个不同的根，至少必须\(m\ge q-1\)，所以就有\(m=q-1\)。这个结论说明了非零元素在乘法上是一个循环群，令\(\alpha\)是其中阶为\(q-1\)的元素，则容易证明该域是\(\alpha\)在\(Z_p\)上生成的单扩域（公式（6）），\(\alpha\)被称为域的原根。
\[GF(p^n)=\triangle(\alpha)\tag{6}\]
现在来看看有限域\(F\)有哪些子域，首先子域的阶必然是\(p^m,(m\leqslant n)\)，在乘法群中还有\(p^m-1\mid p^n-1\)，由初等数论的知识有\(m\mid n\)。这个结论还可以通过扩域的次数来证明，因为\([GF(p^n):Z_p]=n\)，又\([GF(p^m):Z_p]=m\)，故显然有\(m\mid n\)。反之当\(m\mid n\)时，我们需要验证\(p^m\)阶子域是否存在。其实前面的证明已经给出了思路，由于\(p^m-1\mid p^n-1\)，故\((x^s-x)\mid (x^q-x)\)，从而\(x^s-x\)在\(F\)中可完全分解，\(s\)个不同的根组成的域就是要找的子域。这就证明了\(F\)的子域的充要条件是\(m\mid n\)，其实由\((x^s-x)\)是\((x^q-x)\)的因子，显然\(p^m\)阶子域也是唯一的。
• 从原根出发，讨论有限域及其子域的结构和元素。
前面看到，有限域总是一个素域的单扩域，而单扩域的简单结构是我们所喜爱的，这就不禁想问：什么样的扩域是单扩域？这个问题比较难回答，但我们可以给出一类常见的代数扩域，它总是单扩域。有一类不可约多项式在其分裂域中没有重根，这一点对讨论单扩域非常有用。为此定义最小多项式没有重根（在其分裂域中）的代数元为可离元，每个元素都是可离元的扩域称为可离扩域，每个不可约因式都没有重根的多项式叫可离多项式。在证明单扩域的结论之前，我先来简单讨论一下可离元和可离扩域的性质，这当然要从没有重根的不可约多项式研究起。
设\(p(x)\)是\(F\)上的不可约多项式，\(p(x)\)及\(p‘(x)\)的表达式如公式（7）。\(p(x)\)有重根的充要条件是\(d(x)=(p(x),p‘(x))\)的次数大于\(0\)，由\(p(x)\)不可约知\(d(x)=ap(x),(a\in F)\)，再由\(d(x)\mid p‘(x)\)得到\(p‘(x)=0\)，即\(a_1=2a_2=\cdots=na_n=0\)。域的特征只有\(\infty\)和\(p\)两种，当\(\text{char}F=\infty\)时，只能有\(a_1=a_2=\cdots=a_n=0\)，这与\(p(x)\)不可约矛盾，故这种域的不可约多项式都没有重根。当\(\text{char}F=p\)时，可以得到除\(k\mid p\)外都有\(a_k=0\)，故\(p(x)\)有形式\(g(x^p)\)，这就是不可约多项式有重根的必要条件。
\[p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\quad p‘(x)=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1},\quad a_k\in F\tag{7}\]
有了这个结论，我们就可以继续研究可离元的特点。既然特征为\(\infty\)的域的不可约多项式都没有重根，那么它的所有代数元都是可离元，所有代数扩域都是可离扩域。我们现在只需研究特征为\(p\)的域\(F\)，并设\(\alpha\)是\(F\)的可离元，\(\alpha\)当然也是\(F\)任何扩域上的可离元。考察多项式（8），它是扩域\(F(\alpha^p)\)上的多项式，则\(\alpha\)在\(F(\alpha^p)\)上的最小多项式满足\(p(x)\mid f(x)\)。考虑到\(\alpha\)也是\(F(\alpha^p)\)上的可离元，故必然有\(p(x)=x-\alpha\)，这就得到\(\alpha\in F(\alpha^p)\)，从而\(F(\alpha)\subseteq F(\alpha^p)\)。\(F(\alpha^p)\subseteq F(\alpha)\)是显然的，故有结论\(F(\alpha) = F(\alpha^p)\)。
\[f(x)=(x-\alpha)^p=x^p-\alpha^p\tag{8}\]
反之，若\(\alpha\)是\(F\)的不可离元，则它的最小多项式有形式\(g(x^p)\)。容易证明\(g(x)\)也是\(F\)上的不可约多项式，而\(g(\alpha^p)=0\)，故\(g(x)\)是\(\alpha^p\)在\(F\)上的最小多项式。\(g(x)\)和\(g(x^p)\)的次数明显不同，从而\(F(\alpha^p)\)和\(F(\alpha)\)也不可能相同。正反两方面的证明就得到了：\(\alpha\)是\(F\)上的可离元的充要条件是公式（9）成立，这个结论对下面的讨论将很有用。
\[F(\alpha) = F(\alpha^p)\tag{9}\]
有一个基本的问题是，可离元的四则运算还是可离元吗？或等价命题：若\(\alpha,\beta\)为\(F\)上的可离元，\(F(\alpha,\beta)\)是可离扩域吗？考虑后一命题，即问\(\gamma\in F(\alpha,\beta)\)是\(F\)的可离元吗？首先\(\gamma\)当然是\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha)(\beta)\)上的可离元，如果要验证我们的猜想，可以先证明更一般的命题：若\(\alpha\)是可离扩域\(F(\beta)\)上的可离元，则\(\alpha\)也是\(F\)上的可离元。可离元在扩域中当然也是可离元，这个命题是问这个传递性在一定条件下能否逆转？对\(\text{char}F=\infty\)的场景，这一系列结论显然成立，下面的讨论将只针对\(\text{char}F=p\)的域。
因为\(\alpha\)是\(F(\beta)\)上的可离元，由刚才的结论知\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha^p,\beta)\)，而我们试图证明\(F(\alpha)=F(\alpha^p)\)。可以继续将这个猜想往前推，由于\(F(\alpha^p)\subseteq F(\alpha)\)且\(F(\alpha)\)是\(F(\alpha^p)\)的扩域，故要证的结论等价于\([F(\alpha):F(\alpha^p)]=1\)，继而等价于式子（10）。最后这个命题其实是要讨论\(\beta\)在\(F(\alpha)\)和\(F(\alpha^p)\)上的最小多项式\(h(x),g(x)\)次数相等，而显然有\(h(x)\mid g(x)\)，故只需证\(g(x)\mid h(x)\)。类似于前面的方法，其实容易证明\(h^p(x)\)是\(F(\alpha^p)\)上的多项式，而显然\(h^p(\beta)=0\)，再加上\(g(x)\)无重根，只可能是\(g(x)\mid h(x)\)。这就证明了我们的猜想，以及一切的推论，可离元的四则运算还是可离元。
\[[F(\alpha,\beta):F(\alpha)]=[F(\alpha^p,\beta):F(\alpha^p)]\tag{10}\]
现在是时候讨论可离扩域和单扩域之间的关系了，我们早就知道有限域一定是单扩域，现在只需研究无限域。进一步地我们还需把扩域限定在有次限扩域，并由归纳法容易知道，只需证明\(F(\alpha,\beta)\)是单扩域（\(\alpha,\beta\)为\(F\)分离元），那么任何有限次分离扩域都是单扩域。要证\(F(\alpha,\beta)\)是单扩域，我们需要找到该单扩域的生成元\(\theta\)，它由\(\alpha,\beta\)及\(F\)的元素组成且又能用来表示\(\alpha,\beta\)。这样的构造有很多可能，但我们其实只需简单构造一个即可，取\(\theta=\alpha+k\beta,(k\in F)\)，由\(\alpha=\theta-k\beta\)知只需证明\(\beta\in F(\theta)\)即可。
令\(\alpha,\beta\)在\(F\)上的最小多项式分别是\(p(x),q(x)\)，由于\(F(\theta)\subseteq F(\alpha,\beta)\)，则\(q(x)\in F(\theta)[x]\)，要证\(\beta\in F(\theta)\)，只需在\(F(\theta)\)上构造一个与\(q(x)\)仅有一个共同根\(\beta\)的多项式\(h(x)\)。这时候需要借助\(p(x)\)，为使得\(h(\beta)=0\)，自然可以令\(h(x)=p(\theta-kx)\)。为使得\(h(x)\)不含\(q(x)\)的其它根\(\beta_i\)，还得要求\(\theta-k\beta_i\)不等于\(p(x)\)的任意根\(\alpha_j\)，由于\(\beta_i,\alpha_j\)的个数有限，在\(F\)中选择满足条件的\(k\)还是可行的。这就构造出了满足条件的\(\theta\)使得\(F(\theta)=F(\alpha,\beta)\)。
刚才我们证明了有限次分离扩域必是单扩域，并且给出了分离扩域的一些判定条件。其实有一些常用的域，它们的扩域都都是分离扩域，这使得讨论更加简单，为此我们定义这样的域为完全域或完备域。前面已经知道\(\text{char}F=\infty\)的域就是完全域，现在来研究一下\(\text{char}F=p\)的完全域的充要条件。完全域要求不存在形式为\(g(x^p)\)的不可约多项式，容易看出如果\(g(x)\)的系数都是\(a_k^p\)的形式，\(g(x^p)\)必定是\(h^p(x)\)的形式，从而\(g(x^p)\)可约。也就是说如果\(F\)的每个元素都是某个元素的\(p\)次幂，\(F\)一定是完全域。
反之若\(F\)是完全域，对任意元素\(\alpha\)，\(f(x)=x^p-\alpha\)的分裂域中总有\(\beta\)满足\(f(\beta)=0\)。而\(f(x)=(x-\beta)^p\)，故\(\beta\)在\(F\)上的最小多项式只能是\(x-\beta\)，这就说明\(\beta\in F\)，即证明了任何元素都是某个元素的\(p\)次幂。综合这两点分析，\(\text{char}F=p\)的完全域的充要条件是：任何元素都是某个元素的\(p\)次幂。
• 求证：有限域都是完全域。
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