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自平衡二叉树（AVL）属于二叉平衡树的一类，此类树主要完成一个从键到值的查找过程，即字典（或映射），它维护树高度的方式与其他数据结构不同。
自平衡规则：
在数据结构中，最常见的数据间关系的抽象就是集合（Collection）和字典（Dictionary）。
集合就是线性表（元素允许重复），而字典是一种非多键映射关系（键不允许重复）。
对集合而言，一个班中的所有学生构成一个集合，可以是有序的（有序集合）也可以是无序的（无序集合），查找的时间复杂度一般是O(n)，很低。集合的典型就是C#中的List，STL中的vector。集合主要用于存储数据，很少用于查找。如要用于查找，那么可以选择基于有序表的二分查找，相应时间复杂度是O(logn)，而要想从无序表转变为有序表，就是各种排序算法的使命了。
而对字典而言，如同根据一个学生的学号找到他这次考试的成绩一样，主要是用于查找的。这是从键到值的单值映射，键不能重复，值可以重复。根据键找到值是字典的工作。如果是平衡查找树，就为O(logn)，实现一般以红黑树为主（比AVL简单），如Java的TreeMap、STL的map；如果是哈希表，就为O(1)，如Java的HashMap。
在这里，只讲元素的插入，而对于删除操作，由于其复杂性，暂且不能实现。
结点的数据结构为：
template<class T> struct AVLNode { T data; AVLNode *lchild, *rchild; int BF; // 平衡因子 };
前面与二叉树一样，BF用于累计高度差，因为查询高度是一个枯燥的递归操作。
创建结点：
template<class T, class N> N* AVLTree<T, N>::New() { N* newp = BiTree<T, N>::New(); newp->BF = 0; return newp; }
按数组插入：
template<class T, class N> AVLTree<T, N>::AVLTree(const vector<T>& s) { if (s.empty()) throw "数组不能为空"; root = new N; root->data = s[0]; root->BF = 0; root->lchild = NULL; root->rchild = NULL; for (int i = 1; i < s.Length(); i++) Insert(s[i]); }
对于AVL，结点的插入是一项复杂的工作。由于插入操作，树原本的平衡被破坏，需要重新调整。
基本步骤是：
stack<N*> path; // 存储插入前的查找路径（便于回溯） ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // 插入操作 N *p = root; while (true) { path.push(p); if (newp->data < p->data) // 插入值小于根结点，入左子树 { if (p->lchild != NULL) { p = p->lchild; // 值小于LL，则递归入L } else { p->lchild = newp; break; // 根结点无左孩子，正好插入 } } else if (newp->data > p->data) // 插入值大于根结点，入右子树 { if (p->rchild != NULL) { p = p->rchild; // 值大于RR，则递归入R } else { p->rchild = newp; break; // 根结点无右孩子，正好插入 } } else // 插入值等于根结点，返回 { delete newp; return false; } }
// 调整插入路径上结点的BF，定位失衡的结点*p及其父结点*parent N *child = NULL; // *child作为*p的孩子结点 p = newp; N *parent = path.top(); // *parent是*p的父结点 path.pop(); while (true) { if (parent->lchild == p) // p是parent的左孩子，那么parent的BF++ parent->BF++; // BF的变化：-1->0->1->2 else // p是parent的右孩子，那么parent的BF-- parent->BF--; // BF的变化：1->0->-1->-2 if (parent->BF == 2 || parent->BF == -2) // *parent是失衡结点（第一个|BF|>=2） break; // 找到最小不平衡子树的根结点 if (parent->BF == 0) // 在插入新结点后，*parent的左右子树高度相等（BF为0），说明以*parent为根的子树高度未增加 return true; // 所以路径中的其余祖先结点无需调整BF if (path.empty()) // 直到树的根结点，在path中没有结点|BF|超出2，所以不必调整（导致有BF为+1,-1等下次插入再行调整） return true; child = p; p = parent; parent = path.top(); // 由path向上回溯 path.pop(); }
////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // *parent失衡，以下代码进行调整 N *ancestor = path.empty() ? NULL : path.top(); // ancestor为parent的双亲结点 if (!path.empty()) path.pop(); ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// if (parent->BF == 2 && p->lchild == child) // LL { // 前 // A(parent,root),BF(2) // | // B(p),BF(1)__________|_____AR // | // BL(X)_____|_____BR // 后 // B(p,root),BF(0) // | // BL(X)_____|___________________A(parent),BF(0) // | // BR_____|_____AR parent->lchild = p->rchild; p->rchild = parent; parent->BF = 0; p->BF = 0; if (ancestor != NULL) { if (ancestor->lchild == parent) // 修改p的双亲为ancestor ancestor->lchild = p; else ancestor->rchild = p; } else { root = p; } return true; } ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// if (parent->BF == -2 && p->rchild == child) // RR { // 前 // A(parent,root),BF(-2) // | // AL_____|___________________| // B(p),BF(-1) // BL_____|_____BR(X) // 后 // B(p,root),BF(0) // | // A(parent),BF(0)_____|_____BR(X) // | // AL_____|_____BL parent->rchild = p->lchild; // 和LL只有这两句不一样 p->lchild = parent; parent->BF = 0; p->BF = 0; if (ancestor != NULL) { if (ancestor->lchild == parent) // 修改p的双亲为ancestor ancestor->lchild = p; else ancestor->rchild = p; } else { root = p; } return true; } ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// if (parent->BF == 2 && p->rchild == child) // LR { // 前 // A(parent,root),BF(2) // | // B(p),BF(-1)_________|_____AR // | // BL_____|_____C(pc),BF(1) // | // CL(X)______|______CR // 后（减少一层） // C(pc,root),BF(0) // | // B(p),BF(0)____|_____A(parent),BF(-1) // | | // BL_____|_____CL(x) CR_____|_____AR N *pc = p->rchild; parent->lchild = pc->rchild; p->rchild = pc->lchild; pc->lchild = p; pc->rchild = parent; pc->BF = 0; p->BF = 0; parent->BF = -1; if (ancestor != NULL) { if (ancestor->lchild == parent) // 修改pc的双亲为ancestor ancestor->lchild = pc; else ancestor->rchild = pc; } else { root = pc; } return true; } ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// if (parent->BF == -2 && p->lchild == child) // RL { // 前 // A(parent,root),BF(-2) // | // AL_____|___________________B(p),BF(1) // | // C(pc),BF(-1)__|______BR // | // CL_____|_____CR(X) // 后（减少一层） // C(pc,root),BF(0) // | // A(parent),BF(1)|_____B(p),BF(0) // | | // AL_____|_____CL CR(x)_____|_____BR N *pc = p->lchild; parent->rchild = pc->lchild; p->lchild = pc->rchild; pc->lchild = parent; pc->rchild = p; pc->BF = 0; p->BF = 0; parent->BF = 1; if (ancestor != NULL) { if (ancestor->lchild == parent) // 修改pc的双亲为ancestor ancestor->lchild = pc; else ancestor->rchild = pc; } else { root = pc; } return true; } return true; }
调整过程全部是旋转操作
由于AVL操作的复杂性，因而不常用AVL，现在主要使用红黑树（RBT），它们的区别是：
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原文地址：http://www.cnblogs.com/bajdcc/p/4802834.html
