题意：
求n个点的无向连通图个数；
n个点不同，答案对1004535809取模；
n<=130000；
题解：
生成函数的种种神奇应用；
不过这玩意真是越来越不OI了(笑)；
这道题首先考虑递推公式；
设f[x]为结点数为x的答案；
那么用总的无向图数减去不连通的无向图数目就是答案；
f[i]=2^(i*(i-1)/2)-∑f[j]*2^(j*(j-1)/2)*C[i-1][j-1]；(1<=i<=n，1<=j<i)
这个递推式是O(n^2)的，也没什么优化的地方；
所以从生成函数的方向来考虑；
不考虑n个点的不同问题，列出n个点无向连通图的指数级生成函数；
F(x)=∑f[i]*x^i/i!；
而对于无向图的生成函数我们也可以列出来；
G(x)=∑2^(i*(i-1)/2)*x^2/i!；
这两个函数从意义上来说是一个集合的划分的关系；
所以有结论，G(x)=e^F(x)；
也就是F(x)=ln(G(x))；
在模意义下，除了1以外的数都没有ln，而G(x)的常数项恰好为1；
所以存在唯一的解，对多项式求ln就好了；
然后由F(x)倒推回f[x]，时间复杂度O(nlogn)；
ln这东西不用倍增真是太好了= =；
代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 262144
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1004535809;
int a[N],b[N],fact[N];
int pow(int x,int y)
{
int ret=1;
while(y)
{
if(y&1)
ret=(ll)ret*x%mod;
x=(ll)x*x%mod;
y>>=1;
}
return ret;
}
void NTT(int *a,int len,int type)
{
int i,j,t,h;
for(i=0,t=0;i<len;i++)
{
if(i>t) swap(a[i],a[t]);
for(j=(len>>1);(t^=j)<j;j>>=1);
}
for(h=2;h<=len;h<<=1)
{
int wn=pow(3,(mod-1)/h);
for(i=0;i<len;i+=h)
{
int w=1;
for(j=0;j<(h>>1);j++,w=(ll)w*wn%mod)
{
int temp=(ll)w*a[i+j+(h>>1)]%mod;
a[i+j+(h>>1)]=(a[i+j]-temp+mod)%mod;
a[i+j]=(a[i+j]+temp)%mod;
}
}
}
if(type==-1)
{
int inv=pow(len,mod-2);
for(i=1;i<(len>>1);i++)
swap(a[i],a[len-i]);
for(i=0;i<len;i++)
a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
}
void inv(int *a,int *b,int len)
{
static int temp[N];
if(len==1)
{
b[0]=pow(a[0],mod-2);
b[1]=0;
return ;
}
inv(a,b,len>>1);
memcpy(temp,a,sizeof(int)*len);
memset(temp+len,0,sizeof(int)*len);
NTT(temp,len<<1,1),NTT(b,len<<1,1);
for(int i=0;i<len<<1;i++)
b[i]=(ll)b[i]*(2-(ll)temp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
NTT(b,len<<1,-1);
memset(b+len,0,sizeof(int)*len);
}
void ln(int *a,int *b,int len)
{
static int temp[N];
inv(a,temp,len);
for(int i=1;i<len;i++)
b[i-1]=(ll)a[i]*i%mod;
NTT(temp,len<<1,1),NTT(b,len<<1,1);
for(int i=0;i<len<<1;i++) b[i]=(ll)temp[i]*b[i]%mod;
NTT(b,len<<1,-1);
for(int i=(len<<1)-1;i>=1;i--)
b[i]=(ll)b[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;
}
int main()
{
int n,m,i,j,k;
scanf("%d",&n);
for(i=1<<30;i;i>>=1)
if((n+1)&i)
{m=(i<<1);break;}
a[0]=1,fact[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%mod;
a[i]=(ll)pow(2,(ll)(i-1)*i/2%(mod-1))*pow(fact[i],mod-2)%mod;
}
ln(a,b,m);
printf("%d\n",(ll)b[n]*fact[n]%mod);
return 0;
}
原文地址：http://blog.csdn.net/ww140142/article/details/48401001
