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poj1006 中国剩余定理&&中国剩余定理解析

时间:2015-09-16 19:43:58      阅读:213      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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poj 1006 题的思路不是很难的,可以转化数学式:

现设 num 是下一个相同日子距离开始的天数

         p,e,i,d 如题中所设!

那么就可以得到三个式子:( num + d ) % 23 == p; ( num + d ) % 28 == e; ( num + d ) % 33 == i;

p,e,i,d 是我们输入的,那么我们需要求出num即可,为了方便,我们将num+d暂时作为一个整体!令x = num + d;

即:x % 23 == p; x % 28 == e; x % 33 == i;求x

怎么办?这就涉及到所谓的 “ 中国剩余定理 ”( 概念自己google,很easy )

《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。

 --------这个就是传说中的“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是,n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少?

那么他是怎么解决的呢?

看下面:

题目中涉及 3, 5,7三个互质的数、

令:5 * 7 * a % 3 = 1;  --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70;

        3 * 7 * b % 5 = 1;  --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21;

        3 * 5 * c % 7 = 1;  --------------> c  = 1; 即3 * 5 * 1 = 15;

为什么要使余数为1:是为了要求余数2的话,只要乘以2就可以,要求余数为3的话,只要乘以3就可以!

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

那么:要使得n % 3 = 2,那么( 5 * 7 * 2 )*2  % 3 = 2;( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

同理: 要使得n % 5 = 3,那么( 3 * 7 * 1 )*3  % 5 = 3;( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

同理:要使得n % 7 = 2,那么( 3 * 5 * 1 )* 2  % 7 = 2;( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将( 5 * 7 * 2 )* 2和( 3 * 7 * 1 )* 3和( 3 * 5 * 1 )* 2相加会怎么样呢?我们知道

( 5 * 7 * 2 )* 2可以被5和7整除,但是%3等于2

( 3 * 7 * 1 )* 3可以被3和7整除,但是%5等于3

( 3 * 5 * 1 )* 2可以被3和5整除,但是%7等于2

那么即使相加后,%3, 5, 7的情况也还是一样的!

那么就得到一个我们暂时需要的数( 5 * 7 * 2 )* 2 +( 3 * 7 * 1 )* 3 +( 3 * 5 * 1 )* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23  得解!


/******************************************************************************************************************************************************/

// 以上就是算法解析,貌似讲的不是很清晰,哎,大家见谅咯~


现在看看此题:x % 23 == p; x % 28 == e; x % 33 == i;求x

按照以上算法: 

使 33 * 28 * a % 23 = 1,得a = 6; 33 * 28 * 6 = 5544; 

使23 * 33 * b % 28 = 1, 得b = 19;23 * 33 * 19 = 14421; 
使23 * 28 * c % 33 = 1, 得c = 2;  23 * 28 * 2 = 1288。 

那么x  =  5544 * p + 14421 * e + 1288 * i

那么x-d即相差的时间天数!

因为有范围限制,那么(x-d) %= 21252;且如果此时<=0,那么(x-d)  += 21252   ,以上都只是为了保证在范围内而已

下面附加上poj1006基础中国剩余定理经典例题

 

生理周期

 

Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 122201   Accepted: 38531

 

Description

 

人 生来就有三个生理周期,分别为体力、感情和智力周期,它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天,人会在相应的方面 表现出色。例如,智力周期的高峰,人会思维敏捷,精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同,所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人,我们想 知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期,我们会给出从当前年份的第一天开始,到出现高峰的天数(不一定是第一次高峰出现的时间)。你的任务是给定一个 从当年第一天开始数的天数,输出从给定时间开始(不包括给定时间)下一次三个高峰落在同一天的时间(距给定时间的天数)。例如:给定时间为10,下次出现 三个高峰同天的时间是12,则输出2(注意这里不是3)。

 

Input

 

输入四个整数:p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间(时间从当年的第一天开始计算)。d 是给定的时间,可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时,输入数据结束。

 

Output

 

从给定时间起,下一次三个高峰同天的时间(距离给定时间的天数)。

采用以下格式:
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

注意:即使结果是1天,也使用复数形式“days”。

 

Sample Input

 

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

 

Sample Output

 

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

 

Source

 

 

Translator

 

北京大学程序设计实习2007, Xie Di
/*
  中国剩余定理:出自《孙子算经》
  
*/

#include<stdio.h>

#define MAX 21252

int main()
{
    int p, e, i, d, n, count = 0;
    
    while( scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF )
    {
                count++;
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
        {
            break;
                }

        n = ( 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d ) % MAX;
        
        if( n <= 0 )   // 范围限制 
        {
            n += 21252;
                }
        
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", count, n );
    }
    return 0;
}

 

 

poj1006 中国剩余定理&&中国剩余定理解析

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原文地址:http://www.cnblogs.com/13224ACMer/p/4814040.html

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