中国剩余定理—详解

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定理描述：

　　中国剩余定理：求解同余式组的方法。

　　例如下面的一元线性同余方程组：

　　x ≡ a1 (mod m1)

　　x ≡ a2 (mod m2)

　　x ≡ a3 (mod m3)

　　　　. . . . . . 

　　x ≡ an (mod mn)      

　　中国剩余定理：假设整数m1, m2, m3......, mn两两互质，则对于任意的整数a1, a2, a3...., x有解。

解决问题类型：

　　在<孙子算经>里有一个问题： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

计算及推导：

　　他的计算过程是：

　　　　　　　　　　　　70是能被5和7整除的数字，除以3正好余1。

　　　　　　　　　　　   21是能被3和7整除的数字，除以5正好余1。

　　　　　　　　　　　　15是能被3和5整除的数字，除以7正好余1。

　　最后结果就为：( 70*2 + 21*3 + 15*2 ) % LCM(3, 5, 7) == 23

　　就是说对于上面一元组的3个方程要逐级满足，相加之后并不会影响求余的结果，然后modLCM(3, 5,7)就是最小的答案。

　　先满足第一个一元组 x ≡ 2 (mod 3) ，70能被5和7整除，除以3余1，然后乘上2后得到N1，N1就满足了一元组中的第一个式子。依次类推，对一元组中的每个式子都求出Ni，然后相加所得的X就是最终答案(因为Ni可以整除集合a中的所有元素，除ai之外，故对于第i个一元组来说，X加上Nj (j!=i), 并不会对mod ai有影响)。

　　那么再看开始时候提到的一元线性同余方程：(先做几个设定：设Ni为能够被m1, m2,......, mi-1, mi+1, .....mn整除，但是除以mi正好余1)

　　　　X = N1*a1 + N2*a2 + ....... + Nn*an就是我们要求的一个解，解集为X mod LCM(m1, m2, ...., mn)。

　　剩下的问题就变成了如何求解N1, N2, ......, Nn，我们继续向下看：

　　　　假设m = LCM(m1, m2, ......, mn), x‘, y‘为任意整数。

　　　　因为Ni的性质，Ni可以表示为：Ni == m / mi * x‘ == mi * y‘ + 1 ==> m / mi * x‘ + (-mi) * y‘ == 1.

　　推到现在有没有感觉很熟悉，对的！这个就是扩展欧几里德：对于gcd(a, b) = d, 存在a*x+b*y == gcd(a, b)

　  　　 存在gcd(-mi, m/mi) == 1, 对于m / mi * x‘ + (-mi) * y‘ == 1, 套用一下扩展欧几里德求出x‘, 就可以求解出Ni。有了Ni就出X就是分分钟的事情辣！

实现代码：

 1 LL CRT (LL m[], LL a[], LL n)
 2 {//n 一元同余方程的个数
 3     LL M = 1, ans = 0;
 4     LL Mi, x, y;
 5 
 6     for (int i=0; i<n; i++)
 7         M *= m[i];
 8 
 9     for (int i=0; i<n; i++)
10     {
11         Mi = M / m[i];
12         LL d = Extended_Euclid (Mi, m[i], x, y);
13         //扩展欧几里德
14         x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
15         //注意这里x有可能为负数，要转化为正数
16 
17         LL res = quick_add (x, Mi, M);
18         //x * Mi * bi 有可能爆LL，用快速加代替乘法就完美维护
19         res = quick_add (res, a[i], M);
20         ans = (ans + res) % M;
21     }
22     return (ans + M) % M;
23 }

中国剩余定理—详解

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原文地址：http://www.cnblogs.com/alihenaixiao/p/4818427.html