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中国剩余定理—详解

时间:2015-09-18 10:22:20      阅读:1680      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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定理描述:

  中国剩余定理:求解同余式组的方法。

  例如下面的一元线性同余方程组:

  x ≡ a1 (mod m1)

  x ≡ a2 (mod m2)

  x ≡ a3 (mod m3)

    . . . . . . 

  x ≡ an (mod mn)      

  中国剩余定理:假设整数m1, m2, m3......, mn两两互质,则对于任意的整数a1, a2, a3...., x有解。

 

解决问题类型:

  在<孙子算经>里有一个问题: 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?

 

计算及推导

  他的计算过程是:

            70是能被5和7整除的数字,除以3正好余1。

              21是能被3和7整除的数字,除以5正好余1。

            15是能被3和5整除的数字,除以7正好余1。

  最后结果就为:( 70*2 + 21*3 + 15*2 ) % LCM(3, 5, 7) == 23

  就是说对于上面一元组的3个方程要逐级满足,相加之后并不会影响求余的结果,然后modLCM(3, 5,7)就是最小的答案。

  先满足第一个一元组 x ≡ 2 (mod 3) ,70能被5和7整除,除以3余1,然后乘上2后得到N1,N1就满足了一元组中的第一个式子。依次类推,对一元组中的每个式子都求出Ni,然后相加所得的X就是最终答案(因为Ni可以整除集合a中的所有元素,除ai之外,故对于第i个一元组来说,X加上Nj (j!=i), 并不会对mod ai有影响)。

 

  那么再看开始时候提到的一元线性同余方程:(先做几个设定:设Ni为能够被m1, m2,......, mi-1, mi+1, .....mn整除,但是除以mi正好余1)

    X = N1*a1 + N2*a2 + ....... + Nn*an就是我们要求的一个解,解集为X mod LCM(m1, m2, ...., mn)。

 

  剩下的问题就变成了如何求解N1, N2, ......, Nn,我们继续向下看:

    假设m = LCM(m1, m2, ......, mn), x‘, y‘为任意整数。

    因为Ni的性质,Ni可以表示为:Ni == m / mi * x‘ == mi * y‘ + 1 ==> m / mi * x‘ + (-mi) * y‘ == 1.

  推到现在有没有感觉很熟悉,对的!这个就是扩展欧几里德:对于gcd(a, b) = d, 存在a*x+b*y == gcd(a, b)

      存在gcd(-mi, m/mi) == 1, 对于m / mi * x‘ + (-mi) * y‘ == 1, 套用一下扩展欧几里德求出x‘, 就可以求解出Ni。有了Ni就出X就是分分钟的事情辣!

 

实现代码:

 1 LL CRT (LL m[], LL a[], LL n)
 2 {//n 一元同余方程的个数
 3     LL M = 1, ans = 0;
 4     LL Mi, x, y;
 5 
 6     for (int i=0; i<n; i++)
 7         M *= m[i];
 8 
 9     for (int i=0; i<n; i++)
10     {
11         Mi = M / m[i];
12         LL d = Extended_Euclid (Mi, m[i], x, y);
13         //扩展欧几里德
14         x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
15         //注意这里x有可能为负数,要转化为正数
16 
17         LL res = quick_add (x, Mi, M);
18         //x * Mi * bi 有可能爆LL,用快速加代替乘法就完美维护
19         res = quick_add (res, a[i], M);
20         ans = (ans + res) % M;
21     }
22     return (ans + M) % M;
23 }

中国剩余定理—详解

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原文地址:http://www.cnblogs.com/alihenaixiao/p/4818427.html

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