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这道题目可以先转化:
令f(1) = 5+2√6
f(2) = f(1)*(5+2√6)
...
f(n) = f(n-1)*(5+2√6)
f(n) = f(n-1)*(10-(5-2√6)) = 10*f(n-1)-(5-2√6)f(n-1) = 10*f(n-1) - 10/(5+2√6) f(n-1) = 10*f(n-1) - 10/(5+2√6) * (5+2√6)f(n-2)
= 10*f(n-1) - f(n-2)
那么就可以写成矩阵相乘的形式了
(f(n) , f(n-1)) = (f(n-1) , f(n-2)) (10 , 1
-1 , 0)
但这里2^x+1还是很大，这里就用到广义斐波那契数列找循环节的思想
循环节长度 = (mod-1)*(mod+1)
具体证明可以参考这里: 广义斐波那契数列
那么只要求出对模循环节后的长度进行幂运算就行了
但这里f(i)都是带根号的小数 , 这里就选择用近似的整数代替
5+2√6 = 9.89...
f(0) = (5+2√6)^0 = 1
f(1) = (5+2√6)^1 = 5+2√6
/*囧 想了半天我还是不知道为什么f(0)用2代替 ， f(1)用10代替就一定保证之后取到的都是上顶*/
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 100010 4 #define ll long long 5 int n,q; 6 ll MOD; 7 struct Matrix{ 8 int m[2][2]; 9 void init(){m[0][0]=m[1][1]=1;m[0][1]=m[1][0]=0;} 10 Matrix operator*(const Matrix &p) const{ 11 Matrix ret; 12 for(int i=0 ; i<2 ; i++) 13 for(int j=0 ; j<2 ; j++){ 14 ret.m[i][j]=0; 15 for(int k=0 ; k<2 ; k++){ 16 ret.m[i][j] = (ret.m[i][j]+((ll)m[i][k]*p.m[k][j])%MOD)%MOD; 17 } 18 } 19 return ret; 20 } 21 }; 22 23 int qpow(int b) 24 { 25 ll ret=1 , a=2; 26 while(b){ 27 if(b&1) ret = ret*a%MOD; 28 a = a*a%MOD; 29 b>>=1; 30 } 31 return ret; 32 } 33 34 Matrix qpow(Matrix a , int b) 35 { 36 Matrix ret; 37 ret.init(); 38 while(b){ 39 if(b&1) ret = ret*a; 40 a = a*a; 41 b>>=1; 42 } 43 return ret; 44 } 45 46 int main() 47 { 48 // freopen("a.in" , "r" , stdin); 49 int T , cas=0; 50 scanf("%d" , &T); 51 while(T--) 52 { 53 scanf("%d%d" , &n , &q); 54 MOD = (q-1)*(q+1); 55 n = qpow(n); 56 MOD = q; 57 Matrix a; 58 a.m[0][0]=10 , a.m[1][0]=-1 , a.m[0][1]=1 , a.m[1][1]=0; 59 a = qpow(a , n); 60 ll val = (ll)10*a.m[0][0]+(ll)2*a.m[1][0]; 61 val = ((val%MOD)+MOD)%MOD; 62 printf("Case #%d: %I64d\n" , ++cas , (val+MOD-1)%MOD); 63 } 64 return 0; 65 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/CSU3901130321/p/4824910.html
