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康托和逆康托展开(转)

时间:2015-09-21 10:26:00      阅读:301      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1.康托展开的解释


康托展开就是一种特殊的哈希函数

  把一个整数X展开成如下形式:

  X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!

  其中,a为整数,并且0<=a<i,i=1,2,..,n

  {1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

  代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

  他们间的对应关系可由康托展开来找到。

  如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 :

  第一位是3,当第一位的数小于3时,那排列数小于321 如 123、 213 ,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的:小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

  再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以
有0个数 0*1! ,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。

 


  康托展开的代码(C语言):
  

//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.
int fac[]= {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //...
long cantor(int s[],int n){
    int i,j,temp,num;
    num=0;
    for(i=1;i<n;i++){//n为位数
        temp=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(s[j]<s[i])temp++; 
        }
        num+=fac[n-i]*temp;
    }
    return num+1;
}

 

 

康托展开的逆运算
  例 {1,2,3,4,5}的全排列,并且已经从小到大排序完毕

  (1)找出第96个数

  首先用96-1得到95

  用95去除4! 得到3余23

  用23去除3! 得到3余5

  用5去除2!得到2余1

  用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

  所以第一位是4

  有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5(因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个)

  有2个数比它小的数是3

  有1个数比它小的数是2

  最后一个数只能是1

  所以这个数是45321

  (2)找出第16个数

  首先用16-1得到15

  用15去除4!得到0余15

  用15去除3!得到2余3

  用3去除2!得到1余1

  用1去除1!得到1余0

  有0个数比它小的数是1

  有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4(因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2)

  有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3(因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1)

  有1个数比它小得数是2 但由于1,3,4已经在之前出现过了所以是5(因为1,3,4在之前出现过了所以实际比5小的数是1)

  最后一个数只能是2

  所以这个数是14352

康托和逆康托展开(转)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/bofengyu/p/4825322.html

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