动态规划——最长上升子序列

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问题

    最长上升子序列是一类经典的动态规划问题。

给定N个数字, A1,A2,....An，从中选择k个数字 At1, At2,... Atk，满足 1 =< t1 < t2 < .. < tk <= n，且 At1 < At2 < ... < Atk，求满足要求的最大的k。

分析

    设一个动归数组dp，dp[i]表示以第i个数字（即Ai）结尾的最长上升子序列的长度，显然这种问题的划分满足无后效性和最优子结构。同时，可以很方便的推出递推关系 
dp[i] = max{1, dp[j] +1} （j < i 且 Ai > Aj)

实现

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //数组从1开始
    int max = 0;
    for(int j = 1; j < i; j ++){
        if(A[i] > A[j] && dp[j] > max)
            max = dp[j];
    }
    dp[i] = max + 1;
}

复杂度分析

    显然，时间复杂度为O(n^2), 空间复杂度为O(n). 其实还存在一种时间复杂度为O(n*logn)的算法，利用二分查找优化，比较复杂，就没仔细看。。

动态规划——最长上升子序列

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原文地址：http://www.cnblogs.com/gtarcoder/p/4840829.html