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原题链接：http://www.acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/879
中文题
这是一道斜率dp的题。
先把$a$数组排个序。
令$dp[i][j]$表示第$i$个人坐在第$j$个箱子里面的最优解。
容易得到以下转移方程：
$$dp[i][j]=min \left \{ dp[k][j-1]+(a[i]-a[k+1])^2 \right \}$$
观察这个式子，发现好像可以斜率优化：
若$u>v$且$u$要比$v$优，即：
$$dp[u][j-1]+(a[i]-a[u+1])^2<dp[v][j-1]+(a[i]-a[v+1])^2$$
整理后可得到下式：
$$\frac {dp[u][j-1]+a[u+1]^2-(dp[v][j-1]+a[v+1]^2)} {a[u+1]-a[v+1]} < 2*a[i]$$
令
$$Y(t)=dp[t][j-1]+a[t+1]^2$$
$$X(t)=a[t+1]$$
那么原式就是：
$$\frac {Y(u)-Y(v)} {X(u)-X(v)} <2*a[i]$$
这是一个描述斜率的东西，它表明，如果$u,v$的斜率小于$2*a[i]$，那么$u$一定比$v$更优，否则$v$不比$u$差。
令$S(u,v)=\frac {Y(u)-Y(v)} {X(u)-X(v)}$，那么如果$S(u,v)<S(v,w)$，那么$b$一定是没用的状态，这是因为假如$S(u,v)<2*a[i]$，那么$u$比$v$更优，如果$S(u,v) \geq 2*a[i]$，那么$S(v,w) \geq 2*a[i]$，那么$w$不比$v$差。所以$v$就是没用的节点。
综上，我们可以通过一个双端队列来维护一个下凸包，向队尾插入值，维护队尾的单调性。从队首寻找答案。
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdio> #define MAX_N 100005 using namespace std; int n,m; int w[MAX_N]; int dp[MAX_N][2]; double Y(int t,int j){ return dp[t][j]+w[t+1]*w[t+1]; } double X(int t){ return w[t+1]; } double Slope(int u,int v,int j) { if (X(u) == X(v))return 1e233; return (Y(u, j) - Y(v, j)) / (X(u) - X(v)); } int que[MAX_N]; int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &w[i]); sort(w + 1, w + 1 + n); for (int i = 1; i <= n; i++)dp[i][1] = (w[i] - w[1]) * (w[i] - w[1]); for (int j = 2; j <= m; j++) { int cur = j & 1; int front = 0, rear = 0; que[rear++] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { while (rear - front > 1 && Slope(que[front], que[front + 1], cur ^ 1) <= 2 * w[i]) front++; dp[i][cur] = dp[que[front]][cur ^ 1] + (w[i] - w[que[front] + 1]) * (w[i] - w[que[front] + 1]); while (rear - front > 1 && Slope(que[rear - 1], que[rear - 2], cur ^ 1) >= Slope(i, que[rear - 1], cur ^ 1)) rear--; que[rear++] = i; } } printf("%d\n", dp[n][m & 1]); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/HarryGuo2012/p/4841215.html
