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欧拉定理

时间:2015-09-28 09:57:35      阅读:152      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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我们令 Ψ(x) 定义为欧拉函数。

  • 欧拉定理描述 : 

    若 (a , p) = 1 , 那么 aΨ(p) Ξ 1 (mod p) .

 

  • 证明:

    先预热一下:

    Ⅰ.我们令 x1 , x2 , x3 , ……, xs 为 模p 的简化剩余系 (若果对任意的1 ≤ j ≤ s , (xj , p) = 1 并且对于任意的 a ∈ Z ,若 (a , p) = 1 , 那么有且仅有一个 xj a 对 模p 的剩余(及xi两两不相同) .)其中 s = ψ(p) .

    Ⅱ. 若 {x1,x2,x3,……,xs} 为 mod p 的简化剩余系 , 那么若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……,k·xs}也为 mod p 的简化剩余系 , 证明:

        若{k·x1,k·x2,k·x3,……,k·xs}不是 mod p的 简化剩余系 , 

        那么至少存在一组 k·xi Ξ k·xj (mod p) , i != j :

            ∴ k · (xi - xj) Ξ 0 (mod p) 

            又∵ (k , p) = 1 , ∴(xi - xj) Ξ 0 (mod p) ;

            这与 xi ,xj∈ {mod p 的简化剩余系} 相矛盾 , 所以假设不成立 , 及若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……,k·xs}也为 mod p 的简化剩余系成立。

    

  接下来开始真正的证明 :

      我们令 {a1 , a2 , a3 , …… , an}为 mod p 的简化剩余系 ,因为欧拉定理中 (a , p) = 1 , 所以 {a·a1 , a·a2 , a·a3 , …… ,a·an} 也为 mod p 的简化剩余系 。

      ∴ a1 · a2 · a3 · …… · an Ξ a·a1 · a·a2 · a·a3 · …… · a·an Ξ aΨ(p) · a1 · a2 · a3 · …… · an (mod p) ;

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      ∴ aψ(p) - 1 Ξ 0 (mod p) , ∴ aψ(p) Ξ 1 (mod p) 得证 。

     

  • 欧拉定理的简单应用:

      求 ax mod p  , 其中 (a , p)= 1 。

      x = s · ψ(p) + q , q < ψ(p)

      ∴ ax Ξ as · ψ(p) + q  Ξ (aψ(p))s · aq Ξ aq Ξ ax mod p (mod p)

    

欧拉定理

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原文地址:http://www.cnblogs.com/get-an-AC-everyday/p/4843233.html

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