求逆元的相关知识

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　　定义：满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

　　（1）为什么要有乘法逆元呢？

　　　　答：当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

　　（2）如何求逆元？

　　　　答：我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p（ 即(a*k)%p，这样比较好算 ）。其结果与 (a/b) % p 等价。

　　（3）如何证明？

　　证明：
　　　　根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1，那么k=(p*x+1)/b。
　　　　把k代入(a*k) mod p，得：
　　　　　　(a*(p*x+1)/b) mod p
　　　　=((a*p*x)/b+a/b) mod p
　　　　=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　//注：p*[(a*x)/b] mod p=0，因为既然要取模，a/b的结果肯定是为正整数。
　　　　所以原式等于：(a/b) mod p 

　　证毕！

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xcw0754/p/4844145.html