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信息的表示和处理
最重要的数字表示：
无符号（unsigned）编码基于传统的二进制表示法，表示
大于或者等于零的数字。
补码（two’s-complement）编码是表示有符号整数的最常见的方式，有 符号整数就是可以为正或者为负的数字。
浮点数（floating-point）编码是表示实数的科学记数法 的以二为基数的版本。
信息存储：
机器级程序将存储器视为一个非常大的字节数组， 称为虚拟存储器（virtual memory）。
存储器的每个字节都由 一个唯一的数字来标识，称为它的地址（address），所有可
能地址的集合称为虚拟地址空间（virtual address space）
程序对象（program object），即程序数据、指令和控制信息
指针也有两个方面：值和类型。它的值表示某个对象的位置，而它的类型表示那个位置
上所存储对象的类型（比如整数或者浮点数）。
十六进制表示法：
一个字节由8 位组成。
在二进制表示法中，它的值域是000000002 ～ 111111112 ；
如果用十 进制整数表示，它的值域就是010 ～ 25510。
用十六进制书写，一个字节的值域为0016 ～ FF16。
字
字长（word size），指明整数和指针数据的标称大小（nominal size）
“char”是由于它被用来存储文本串中的单个字符这一事实而得名，但它也能用来存储整数值。
ISO C99 引入的“长长”整 数数据类型允许64 位整数。对于32 位机器来说，编译器必须把这种数据类型的操作编译成执行
一系列32 位操作的代码。（64位机 ：gcc -m32 生成32位的代码）
寻址和字节顺序
一种规则—最低有效字节在最前面的方式，称为小端法（little endian）。大多数Intel 兼容机都
采用这种规则。后一种规则—最高有效字节在最前面的方式，称为大端法（big endian）。
布尔代数简介：
布尔运算~ 对应于逻辑运算NOT，在命题逻辑中用符号﹁表示。也就是说，当P
不是真的时候，我们就说﹁ P 是真的，反之亦然。相应地，当P 等于0 时，~P 等于1，反之亦
然。布尔运算& 对应于逻辑运算AND，在命题逻辑中用符号∧表示。当P 和Q 都为真时，我们说
P ∧ Q 为真。相应地，只有当p =1 且q =1 时，p & q 才等于1。布尔运算｜对应于逻辑运算OR，在
命题逻辑中用符号∨表示。当P 或者Q 为真时，我们说P ∨ Q 成立。相应地，当p =1 或者q =1 时，
p ｜ q 等于1。布尔运算^ 对应于逻辑运算异或，在命题逻辑中用符号（圈里面有个加号你懂的）表示。
c语言中的逻辑运算
逻辑运算符&& 和 || 与它们对应的位级运算& 和 | 之间第二个重要的区别是，如果对第一个
参数求值就能确定表达式的结果，那么逻辑运算符就不会对第二个参数求值。
C 语言中的移位运算
C 语言标准并没有明确定义应该使用哪种类型的右移。对于无符号数据（也就是以限定词
unsigned 声明的整型对象），右移必须是逻辑的
x<<k：左移k位。X>>k：右移
整数表示：
值得注意的特点是取值范围不是对称的—负数的范围比整数的范围 大1
数据类型long long 是在ISO C99 中引入的，它需要至少8 个字节 表示。 （gcc -std=c99）
*C 和C++ 都支持有符号（默认）和无符号数。Java 只支持有符号数。
无符号数的二进制表示有一个很重要的属性，就是每个介于0 ～ 2w-1 之间的数都有唯一一
个w 位的值编码。
补码编码
最常见的有符号数的计算机表示方式是补码表示形式。在定义中，字的最高有效位解释为负权，使用函数B2T
同无符号表示一样，在可表示的取值范围内的每个数字都
有一个唯一的w 位的补码编码。用数学语言来说就是B2Tw 是一个双射—每个长度为w 的位向
量都对应一个唯一的值；反过来，每个介于-2w-1 和2w-1-1 之间的整数都有一个唯一的长度为w
的位向量二进制表示。
补码的范围是不对称 的：|TMin| = |TMax| + 1，也就是说，TMin 没有与之对应的正数。
。之所以会有这样的不对称性，是
因为一半的位模式（符号位设置为1 的数）表示负数，而一半的数（符号位设置为0 的数）表示非负数。
因为0 是非负数，也就意味着能表示的正数比负数少一个。第二，最大的无符号数值刚
好比补码的最大值的两倍大一点：UMaxw = 2 TMaxw + 1。
有符号数和无符号数之间的转换
c语言中支持不同数字类型的强制性转换。
处理同样字长的有符号数和无符号数之间的互相转换的一般规则是：数值可能会改变，但位模式不变
当将一个有符号数映射为它相应的无符号 数时，负数就被转换成了大的正数，而非负数会保持不变。
无符号与补码表示之间互相转换的结果。对于在0 ≤ x < 2w-1 范围之内
的值x 而言，我们得到T2Uw (x) = x 和U2Tw (x) = x。也就是说，在这个范围内的数字有相同的
无符号和补码表示。对于这个范围以外的数值，转换需要加上或者减去2w。
C 语言中的有符号数与无符号数
尽管C 语言 标准没有指定有符号数要采用某种表示，但是几乎所有的机器都使用补码。通常，大多数数字都
默认为是有符号的。要创建一个无符号常量，必须加上后缀字符‘U’或者‘u’。
C 语言允许无符号数和有符号数之间的转换。转换的原则是底层的位表示保持不变。
扩展一个数字的位展示
将一个无符号数转换为一个更大的数据类型，我们只 需要简单地在表示的开头添加0，这种运算称为零扩展（zero extension）。
将一个补码数字转换 为一个更大的数据类型可以执行符号扩展（sign extension），规则是在表示中添加最高有效位的
值的副本
截断数字
截断一个数字可能会改变其值，这也是值溢出的一种形式。
对于一个值为x的无符号数，将其截断成k位，结果等于以2的k次方为模对x取模。
对于一个值为x的有符号数，有类戏的结论——模运算的结果也按照有符号数来解析
整数运算
溢出：完整整数结果不能放到数据类型的字长限制中去。
判断无符号运算是否溢出，例如s=x+y(s、x、y均为无符号数)，则唯一可靠的判断标准就是s<x或s<y。
补码非的位级表示：
求位级补码非的第一种方式是对每一位求补，再对结果加1
第二种方式：建立在将位向量分为两部分的基础之上的。假设k 是
最右边的1 的位置，因而x 的位级表示形如[xw-1, xw-2,…, xk+1, 1, 0,…, 0]。（只要x ≠ 0 就能够找
到这样的k。）这个值的非写成二进制格式就是[~xw-1, ~xw-2,…, ~xk+1, 1, 0,…, 0]。也就是，我们对
位位置k 左边的所有位取反。
IEEE 浮点标准用V = (-1)s × M × 2E 的形式来表示一个数：
• 符号（sign） s 决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0），而对于数值0 的符号位解释作
为特殊情况处理。
• 尾数（significand） M 是一个二进制小数，它的范围是1 ～ 2-ε，或者是0 ～ 1-ε。
• 阶码（exponent） E 的作用是对浮点数加权，这个权重是2 的E 次幂（可能是负数）。
将浮点数的位表示划分为三个字段，分别对这些值进行编码：
• 一个单独的符号位s 直接编码符号s。
• k 位的阶码字段exp = ek-1…e1e0 编码阶码E。
• n 位小数字段frac = fn-1…f1 f0 编码尾数M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否
等于0。
在单精度浮点格式（C 语言中的float）中，s、exp 和frac 字段分别为1 位、k = 8 位和n = 23 位，得到一个32 位的表示。
在双精度浮点格式（C 语言中的double）中，s、exp 和frac 字段分别为1 位、k = 11 位和n = 52 位，得到一个64 位的表示。
根据exp 的值，被编码的值可以分成三种不同的情况（最后一种情况有两
个变种）
情况1 ：规格化的值
这是最普遍的情况。当exp 的位模式既不全为0（数值0），也不全为1（单精度数值为255，双精度数值为2047）时，都属于这类情况。
在这种情况中，阶码字段被解释为以偏置 （biased）形式表示的有符号整数。也就是说，阶码的值是E = e-Bias，其中e 是无符号数，其位
表示为ek-1…e1e0，而Bias 是一个等于2k-1-1（单精度是127，双精度是1023）的偏置值。由此
产生指数的取值范围，对于单精度是-126 ～ +127，而对于双精度是-1022 ～ +1023。
情况2 ：非规格化的值
当阶码域为全0 时，所表示的数就是非规格化形式。在这种情况下，阶码值是E = 1 - Bias，
而尾数的值是M = f，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。
非规格化数有两个用途：
（1）它们提供了一种表示数值0 的方法
（2）表示那些非常接近于0.0 的数。它们提供了一种属性，称为逐 渐溢出（gradual underflow），其中，可能的数值分布均匀地接近于0.0。
情况3 ：特殊值
最后一类数值是当指阶码全为1 的时候出现的。当小数域全为0 时，得到的值表示无穷，当
s = 0 时是+ ∞，或者当 s = 1 时是- ∞
对于浮点数，需要明白，可以表示的数并不是均匀分布的，在越靠近原点处越稠密。
舍入
IEEE 浮点格式定义了四种不同的舍入方式。默认的方 法是找到最接近的匹配，而其他三种可用于计算上界和下界。(向(最近)偶数舍入、向零舍入、向上舍入、向下舍入。)
向偶数 舍入（round-to-even），也称为向最接近的值舍入（round-to-nearest），是默认的方式，试图找到 一个最接近的匹配值
向零舍入方式把正数向下舍入，把负数向上舍入，得到值 x^，使得 | x^^ | ≤ | x |。向下舍入方
式把正数和负数都向下舍入，得到值x-，使得x- ≤ x。向上舍入方式把正数和负数都向上舍入，
得到值x+，满足x ≤ x+。
浮点运算
IEEE 标准指定了一个简单的规则，用来确定诸如加法和乘法这样的算术运算的结果。把浮
点值x 和y 看成实数，而某个运算⊙定义在实数上，计算将产生Round (x ⊙ y)，这是对实际运算
的精确结果进行舍入后的结果。（优势在于，它可以独立于任何具体的硬件或者软 件实现）
c语言中的浮点数：
当在int、float 和double 格式之间进行强制类型转换时，程序改变数值和位模式的原
则如下（假设int 是32 位的）：
• 从int 转换成float，数字不会溢出，但是可能被舍入。
• 从int 或float 转换成double， 因为double 有更大的范围（ 也就是可表示值的范
围），也有更高的精度（也就是有效位数），所以能够保留精确的数值。
• 从double 转换成float，因为范围要小一些，所以值可能溢出成为+ ∞或- ∞。另外，
由于精确度较小，它还可能被舍入。
• 从float 或者double 转换成int， 值将会向零舍入。例如，1.999 将被转换成1，
而-1.999 将被转换成-1。进一步来说，值可能会溢出。C 语言标准没有对这种情况指
定固定的结果。与Intel 兼容的微处理器指定位模式[10...00]（字长为w 时的TMinw）为
整数不确定（integer indefinite）值。一个从浮点数到整数的转换，如果不能为该浮点数
找到一个合理的整数近似值，就会产生这样一个值。因此，表达式(int)+1e10 会得
到-21483648，即从一个正值变成了一个负值。
浮点加法具有交换性，但不具有结合性。
例如，在单精度浮点计算中 表达式((3.14+1e10)-1e10)的值为0.0——因为舍入，值3.14会丢失。另一方面，表达式(3.14+(1e10-1e10))的值为3.14。
浮点加法不具有结合性，这是缺少的最重要的群属性。
浮点加法满足单调性属性：如果a>=b ，则对于任意x，除非x等于NaN，都有x+a>=x+b。这一属性是无符号或二进制补码加法所具有的。
计算机将信息按位编码，通常组织成字节序列。
在相同长度的无符号和有符号整数之间进行强制类型转换时，大多数C 语言实现遵循的原
则是底层的位模式不变。
在补码机器上，对于一个w 位的值，这种行为是由函数T2Uw 和U2Tw
来描述的。
C 语言隐式的强制类型转换会出现许多程序员无法预计的结果，常常导致程序错误。
由于编码的长度有限，与传统整数和实数运算相比，计算机运算具有完全不同的属性。
和大多数其他程序语言一样，C 语言实现的有限整数运算和真实的整数运算相比，有一些特
殊的属性:
由于溢出，表达式x*x 能够得出负数。但是，无符号数和补码的运算都满足 整数运算的许多其他属性，包括结合律、交换律和分配律。这就允许编译器做很多的优化.我们已经看到了几种使用位级运算和算术运算组合的聪明方法:
(1)使用补码运算， ~x+1 等价于 -x 。
(2)假设我们想要一个形如[0,…,0,1,…,1] 的位模式，由w - k 个 0 后面紧跟着k 个1 组成。这些位模式有助于掩码运算。这种模式能够通过C 表达式(1<<k)-1 生成.
利用的是这样一个属性，即我们想要的位模式的数值为2k-1。例如，表达式(1<<8)-1
将产生位模式0xFF。
浮点表示通过将数字编码为x×2y 的形式来近似地表示实数。最常见的浮点表示方式是由
IEEE 标准754 定义的。它提供了几种不同的精度，最常见的是单精度（32 位）和双精度（64
位）。IEEE 浮点也能够表示特殊值+ ∞、- ∞和NaN。
必须非常小心地使用浮点运算，因为浮点运算只有有限的范围和精度，
而且不遵守普遍的算 术属性，比如结合性。
遇到的问题与总结：
非规划值为什么可以均匀接近0：
这里有一个例子：如果全部用十进制表示，对于类似0.0123的浮点数，规格化的表示应为1.23e-2。但对于某些过小的数，如1.23e-130，允许的阶数位数不能满足阶数大小的需要，这时可能就会在尾数前添加前导0，如将其表示为0.000123e-126。
但是非规格化浮点数有争议：可以使任何浮点运算可以在任何浮点数上操作，而不产生下溢出异常，但另一方面它也可能导致更多的除以0错误和NaN的出现。
有阅读,摘写一点
第四周学习报告
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原文地址：http://www.cnblogs.com/midori/p/4852303.html
