试计算矩阵 $A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ ($n\geq2$) 的行列式.
提示: 根据行列式的性质:
(1) 行列式两列线性相关, 则行列式为零;
(2) 若记第 $k$ 列为向量 $\al$ 的行列式为 $D(\al)$, 则 $$\bex D(\al+\beta)=D(\al)+D(\beta), \eex$$ 我们有 $$\beex \bea |A|&=\sum_{k=1}^n \sev{\ba{ccccc} \cos \al_1\sin\al_1&\cdots&\sin \al_1\cos \al_k&\cdots&\cos\al_1\sin \al_n\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ \cos \al_n\sin \al_1&\cdots&\cos \al_n\cos \al_k&\cdots&\cos \al_n\sin\al_n \ea}\\ &=0. \eea \eeex$$
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[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)
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