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线性方程组中比较常见的是\(m=n\)的情况，我们想知道这种方程组什么时候有唯一解？并且如何用系数表示这个唯一解？对于元数较少的方程，可以直接用消元法得到解的具体公式，比如（1）式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式\(ab-cd\)，这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解，还能直接表示解的公式。
\[x_1=\dfrac{b_1a_{22}-b_2a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}};\quad x_2=\dfrac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\tag{1}\]
考虑到二元方程组的系数矩阵（下式左），上面的模式表现为对角线积的差。同样对三元方程组，我们也可以得到重复的模式，分母为\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)，参照系数矩阵（下式右）可知，模式表现为正反斜线的差。
我们现在自然想问，对任意\(m=n\)的线性方程组，是否都有这样的模式？它的一般表达式是什么？经过考察更多元的方程组，数学家们还真找到了一般的表达式，式子由所有\(a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\)形式的乘积组成，其中\((j_1j_2\cdots j_n)\)是\(1\sim n\)的一个排列。另外，每一项的符号由排列\((j_1j_2\cdots j_n)\)的逆序数\(\tau(j_1j_2\cdots j_n)\)决定，如果逆序数为偶数则为正，否则为负。设系数矩阵为\(A\)，则这个表达式被称为\(A\)的行列式（determinant），记作\(|A|\)，总结有它的值为公式（2）。
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}{(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}}\tag{2}\]
逆序数的概念之前介绍过，这里再简单阐述一下。排列\((j_1j_2\cdots j_n)\)中，如果有\(p<q\)但\(j_p>j_q\)，则\(j_pj_q\)称为一个逆序，所有逆序的个数叫排列的逆序数，记作\(\tau(j_1j_2\cdots j_n)\)。在实际应用场合，其实更有用的是逆序数的奇偶性，对应就有奇排列和偶排列的概念。容易证明，任意两数的对换会改变排列的奇偶性，而两个排列之间都可以通过一系列对换进行转换，故奇偶性也可以通过对换次数来判断。
行列式的项数正是全排列的个数\(n!\)，并且显然其中奇偶排列各占一半。行列式的每一项是在每一行取列号不同的元素，其实它等价于取\(n\)个行列号都不同的元素\(a_{x_1y_1}a_{x_2y_2}\cdots a_{x_ny_n}\)，特别地它还等价于在每一列中取行号不同的元素\(a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}\)。由于\(a_{x_py_p},a_{x_qy_q}\)对调后\((x_1x_2\cdots x_n)\)和\((y_1y_2\cdots y_n)\)的奇偶性同时变化，故它们的和是不变的，这样就得到公式（3）的关系。
\[(-1)^{\tau(x_1x_2\cdots x_n)+\tau(y_1y_2\cdots y_n)}=(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}=(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\tag{3}\]
行列式最初被发现时，只是为了表达线性方程组的解，但在后面的线性变换和空间的度量中，它却成了不可或缺的工具。行列式定义的计算量比较大，我们往往只能用它来计算一些简单矩阵的行列式，比如可以直接计算如下上（下）三角形行列式。
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\tag{4}\]
• 求行列式：\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2(n-1)}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&0&\cdots&0&0\end{vmatrix}\)，\(\begin{vmatrix}0&a_1&0&\cdots&0\\0&0&a_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{n-1}\\a_n&0&0&\cdots&0\end{vmatrix}\)，\(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\0&0&0&c_1&c_2\\0&0&0&d_1&d_2\\0&0&0&e_1&e_2\end{vmatrix}\)。
既然三角形行列式比较容易计算，我们希望通过初等变换将行列式三角化，为此需要了解初等变换对行列式的影响。首先根据定义容易知道，对行列式的某一行（列）乘上常数\(k\)，行列式的值也变成\(k\)倍（公式（5））。从而如果有某行（列）全为\(0\)，行列式的值也为\(0\)。另外，将行列式的两行（列）交换，将翻转每一项的奇偶性，故行列式的值取相反数（公式（6））。从而如果某两行（列）相等，行列式值为\(0\)，再结合公式（5）知，某两行（列）成比例的行列式值也为\(0\)。
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\tag{5}\]
\[\begin{vmatrix}\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\end{vmatrix}\tag{6}\]
第三个初等变换是将行（列）的倍数加到另一行（列），而首先由定义知，在在一行（列）同时加上一些数，等于两个行列式的和（公式（7））。从而第三个初等变换得到两个行列式（公式（8）），第一个是它本身，第二个的第\(j\)行是第\(i\)行倍数，故为\(0\)。
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_1+c_1&b_2+c_2&\cdots&b_n+c_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_1&b_2&\cdots&b_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_1&c_2&\cdots&c_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\tag{7}\]
\[\begin{vmatrix}\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}+ka_{i1}&a_{j2}+ka_{i2}&\cdots&a_{jn}+ka_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\end{vmatrix}\tag{8}\]
由上面的讨论可知，初等变换（不包括乘以\(0\)）只会使行列式的值乘以一个非零值，如果我们只关心行列式是否为\(0\)，初等变换并不影响结果。具体到\(m=n\)的线性方程组中，用初等变换将系数矩阵变为上三角形，方程有唯一解的充要条件是对角线都是非零值，这就等价于原系数矩阵的行列式非零。对\(n\)维线性空间，任意\(n\)个向量线性无关的充要条件是：坐标矩阵的行列式非零，两组基之间的过渡矩阵的行列式显然非零。
灵活使用初等变换，可以简化行列式的求解，有些问题还需要较强技巧，考虑以下问题。
• 计算行列式：\(\begin{vmatrix}\lambda&a&a&\cdots&a\\a&\lambda&a&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&a&\cdots&\lambda\end{vmatrix}\)，\(\begin{vmatrix}x_1-a_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\x_1&x_2-a_2&x_3&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n-a_n\end{vmatrix}\)，\(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\b_2&1&0&\cdots&0\\b_3&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_n&0&0&\cdots&1\end{vmatrix}\)；
• 记\(A\)的每个元素加上\(t\)后的矩阵为\(A(t)\)，求证：\(|A(t)|=|A|+t\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n{A_{ij}}\)。
如果要继续研究行列式，一个容易想到的方向就是行列式的分解。对行列式的\(n!\)项，也许我们可以对它们进行分类和聚拢，从而得到有意义的分割。根据行列式的定义，每一项其实是在每一行（列）中各取一个元素，一个比较自然的分割方法就是：按第\(i\)行（\(j\)列）的元素分成\(n\)类，而含有\(a_{ik}\)（\(a_{kj}\)）的项属于一类。设同一类项的和为\(a_{ik}A_{ik}\)（\(a_{kj}A_{kj}\)），则有下式成立，其中其中\(A_{ij}\)称也为\(a_{ij}\)的代数余子式。
\[|A|=\sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{ik}}=\sum_{k=1}^n{a_{kj}A_{kj}}\tag{9}\]
为了方便讨论，把\(|A|\)去除第\(i\)行、第\(j\)列后的行列式叫做\(a_{ij}\)的余子式（cofactor），并记为\(M_{ij}\)。仔细考察\(A_{ij}\)的每一项，根据行列式的定义，它们正好与\(M_{ij}\)的每一项一一对应。只不过在\(A_{ij}\)中是\(a_{1j_1}\cdots a_{ij}\cdots a_{nj_n}\)的奇偶性，而在\(M_{ij}\)中是\(a_{1j_1}\cdots a_{(i-1)j_{i-1}}a_{(i+1)j_{i+1}}\cdots a_{nj_n}\)的奇偶性。容易证明两者逆序数相差\(i+j\)，从而有\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，公式（9）可以改写为公式（10）。
\[|A|=\sum_{k=1}^n{(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}}=\sum_{k=1}^n{(-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}}\tag{10}\]
公式（10）以一行（列）展开行列式，它给出了计算行列式的一个降阶方法，在某些形式的行列式中非常有用。比如当行列式的某行（列）的非零数很少时（或者在一些初等变换之后），那么以这一行（列）展开计算就很快速。尝试计算以下行列式：
• 计算行列式：\(\begin{vmatrix}a&b&0&\cdots&0\\0&a&b&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&b\\b&0&0&\cdots&a\end{vmatrix}\)，\(\begin{vmatrix}1&2&3&\cdots&n\\n&1&2&\cdots&n-1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\2&3&4&\cdots&1\end{vmatrix}\)；
• 求证：\(\begin{vmatrix}x&0&\cdots&0&a_0\\-1&x&\cdots&0&a_1\\0&-1&\cdots&0&a_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&-1&x+a_{n-1}\end{vmatrix}=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)。
以下左式是著名的范德蒙行列式（Vandermonde），在每一行上减掉上一行的\(a_1\)倍，第\(1\)列只有\(a_{11}\)非零，故行列式等于\(M_{11}\)。\(M_{11}\)每一列提取出公倍数\(a_j-a_1\)就得到\(a_2,\cdots,a_n\)上的范德蒙行列式，以此类推就得到\(n\)阶范德蒙行列式的值（公式（11））。由公式（11）可知，范德蒙行列式等于\(0\)的充要条件是存在\(a_i=a_j\)。这个行列式形式独特，在数学的各个分支都有应用，经常出现于一些构造无关向量的场合中。
\[\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\0&(a_2-a_1)&\cdots&(a_n-a_1)\\0&a_2(a_2-a_1)&\cdots&a_n(a_n-a_1)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a_2^{n-2}(a_2-a_1)&\cdots&a_n^{n-2}(a_n-a_1)\end{vmatrix}\\ =\sum_{j=1}^n(a_j-a_1)\cdot\begin{vmatrix}1&\cdots&1\\a_2&\cdots&a_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_2^{n-2}&\cdots&a_n^{n-2}\end{vmatrix}=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_j-a_i)\tag{11}\]
有时候像范德蒙行列式一样，按行（列）展开并不能直接得到结果，而是一个递推式，解递推式方程即可得到行列式的值。这样的行列式往往具有很规律的结构，在实际应用中经常会碰到，一些常见的行列式最好直接记住它的结论。
• 计算行列式：\(\begin{vmatrix}2&-1&0&\cdots&0&0\\-1&2&-1&\cdots&0&0\\0&-1&2&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&2&-1\\0&0&0&\cdots&-1&2\end{vmatrix}\)。
上面按一行（列）展开了行列式，其实这个结论可以很容易扩展到按\(k\)行（列）展开。之前我们以一行（列）的每个元素为分类依据，现在则是要以\(k\)行（列）中每个\(k\)阶子行列式为分类依据。记第\(i_1,i_2,\cdots,i_k\)行、第\(j_1,j_2,\cdots,j_k\)列的元素组成的行列式为\(A\begin{pmatrix}i_1\cdots i_k\\j_1\cdots j_k\end{pmatrix}\)，剩下的\(n-k\)行、\(n-k\)列组成的行列式称为它的余子式，比如是\(A\begin{pmatrix}i‘_1\cdots i‘_{n-k}\\j‘_1\cdots j‘_{n-k}\end{pmatrix}\)。
如果要按第\(i_1,i_2,\cdots,i_k\)行展开，则将行列式所有项按照\(A\begin{pmatrix}i_1\cdots i_k\\j_1\cdots j_k\end{pmatrix}\)分类，其中\(j_1\cdots j_k\)取\(1\sim n\)中所有\(k\)个数的组合。类似上面的证明思路，可知每一类的符号是\((-1)^{i_1+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_k}\)，所以有如下按\(k\)行展开行列式的拉普拉斯定理（Laplace），按列展开类似。
\[|A|=\sum_{1\leqslant j_1<\cdots<j_k\leqslant n}{(-1)^{i_1+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_k}A\begin{pmatrix}i_1\cdots i_k\\j_1\cdots j_k\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}i‘_1\cdots i‘_{n-k}\\j‘_1\cdots j‘_{n-k}\end{pmatrix}}\tag{11}\]
拉普拉斯定理多用于有块状特征的行列式，设\(A,B,C,D\)分别是\(s\times s,t\times t,t\times s,s\times t\)的矩阵块，则容易有公式（12）的结论。
\[\begin{vmatrix}A&0\\C&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&D\\0&B\end{vmatrix}=|A||B|\tag{12}\]
• 计算行列式：\(\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}\)，其中\(A=\begin{bmatrix}a&&\\&\ddots&\\&&a\end{bmatrix},\:B=\begin{bmatrix}&&b\\&{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu\raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}&\\b&&\end{bmatrix}\)。
行列式根据定义总是可以计算出来的，但实际问题中的很多行列式具有特殊的格式，而且需要得到一般的表达式。除了上面的基本工具，有时需要很多的技巧，这要求有较高的数学综合素养。我们虽然不建议搞题海战术，但不得不承认技巧和思想在数学中都是不可缺少的，而这需要一些锻炼和总结。我们经常会碰到一些具有特定规律的行列式，需要根据这些规律找到适合它的方法和技巧。
有一种行列式，它的每行（列）非常相似，但又总有一点不同，这时需要想办法提取出相同的部分。一种做法是将相同的部分单独作为新的一行（列）加到矩阵中，然后进行消除，便会得到较简单的形式，我们可以把它叫做加边法。比如以下左式，可以给它添加一行\([1\:a_1\:a_2\:\cdots\:a_n]\)（第一列其它元素为零）。还有一种做法就是将每一行（列）中不同的部分剥离开来，分别计算两个简单的行列式。比如以下右式，可以将第一个\(x\)拆成\(y+(x-y)\)，接下来的递归式就容易了。
\[\begin{vmatrix}b_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&b_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&a_2&b_3&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1&a_2&a_3&\cdots&b_n\end{vmatrix},\quad\begin{vmatrix}x&y&\cdots&y&y\\z&x&\cdots&y&y\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\z&z&\cdots&x&y\\z&z&\cdots&z&x\end{vmatrix}\]
当行列式表现为一个多项式时，我们可以把注意力集中到确定多项式的系数上，这个方法叫待定系数法。比如以下左式，多项式的\(n+1\)个根是可以猜出来的，多项式也就可以得到。再比如以下右式，它可以看做是\(n+1\)阶范德蒙行列式的一个余子式。以\(x\)补完最后一列，范德蒙行列式为多项式，且刚才的余子式便是\(x^{n-1}\)项的系数（注意符号）。
\[\begin{vmatrix}x&a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1&x&a_2&\cdots&a_n\\a_1&a_2&x&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1&a_2&a_3&\cdots&x\end{vmatrix},\quad\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1^n&a_2^n&\cdots&a_n^n\end{vmatrix}\Rightarrow\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n&x\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}&x^{n-1}\\a_1^n&a_2^n&\cdots&a_n^n&x^n\end{vmatrix}\]
还有一种方法难度比较大，需要借助公式\(|AB|=|A||B|\)（见下篇）。有一些行列式可以先分解成两个简单行列式的积，比如以下左式（\(s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\)）是两个范德蒙行列式的积。还有一些行列式可以形成较好的乘法等式，而该等式有助于计算行列式，比如以下右式的循环矩阵，考虑到\(n\)次本原单位根\(\omega\)幂次的循环性，你可以尝试将它乘上由\(1,\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1}\)组成的范德蒙行列式。
\[\begin{vmatrix}s_0&s_1&\cdots&s_n\\s_1&s_2&\cdots&s_{n+1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\s_n&s_{n+1}&\cdots&s_{2n}\end{vmatrix},\quad\begin{vmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_n&a_1&\cdots&a_{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_2&a_3&\cdots&a_1\end{vmatrix}\]
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