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一.最长公共子序列（LCS Longest Common Subsequence）
第一，先说区别，最长公共子串和最长公共子序列是不一样的。
最长公共子串不许是连续的，而最长公共子序列可以是不联系的。
网络上解释的子序列:
一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。
例如
X=ABCBDAB
Y=BDCABA
BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，
BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。
寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。
第二，子序列和子串的个数：
假设X有m个元素，则X有2^m-1个子序列
子串的话应该有（1+2+3+...+m） = (m+1)*m/2个
第三，可以参考一个blog：http://www.ahathinking.com/archives/115.html
DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；
为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示 序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为
dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]
模板1
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 4 using namespace std; 5 #define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 6 #define MAXN 1000 7 short dir[MAXN][MAXN]; 8 int dp[MAXN][MAXN]; 9 10 char A[MAXN], B[MAXN]; 11 int r,c; 12 13 void LCS() 14 { 15 for(int i=0;i<=r;i++) 16 dp[i][0] = 0; 17 for(int i=0;i<=c;i++) 18 dp[0][i] = 0; 19 for(int i=1;i<=r;i++) 20 { 21 for(int j=1;j<=c;j++) 22 { 23 if(A[i-1] == B[j-1]) 24 { 25 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; 26 dir[i][j] = 1; 27 } 28 else if(dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]) 29 { 30 dp[i][j] = dp[i-1][j]; 31 dir[i][j] = 0; 32 } 33 else 34 { 35 dp[i][j] = dp[i][j-1]; 36 dir[i][j] = 2; 37 } 38 } 39 } 40 } 41 42 void print(int ri,int ci) 43 { 44 if(ri == 0 || ci == 0) 45 return; 46 if(dir[ri][ci] == 1) 47 { 48 print(ri-1,ci-1); 49 printf("%c",A[ri-1]); 50 } 51 else if(dir[ri][ci] == 0) 52 print(ri-1,ci); 53 else 54 print(ri,ci-1); 55 } 56 57 58 59 int main() 60 { 61 scanf("%s%s",A,B); 62 r = strlen(A), c= strlen(B); 63 LCS(); 64 printf("%d\n",dp[r][c]); 65 print(r,c); 66 printf("\n"); 67 return 0; 68 }
模板2(滚动数组)
1 /************************************************* 2 Copyright: Call_Me_BIGBALLON 3 Author: BIGBALLON 4 Problem: 111 - History Grading 5 Date: 2014-05-04 6 Description: 7 **************************************************/ 8 #include<cstdio> 9 #include<cstring> 10 #include<algorithm> 11 12 using namespace std; 13 14 int dp[2][21]; 15 int A[21]; 16 int B[21]; 17 int r, c, k, t, len; 18 19 void LCS() 20 { 21 for(int i=0;i<r;i++) 22 dp[i][0] = 0; 23 for(int i=0;i<c;i++) 24 dp[0][i] = 0; 25 26 for(int i=1;i<=r;i++) 27 { 28 t = i & 1; 29 for(int j=1;j<=c;j++) 30 { 31 if(A[i] == B[j]) 32 dp[t][j] = dp[t^1][j-1] + 1; 33 else 34 dp[t][j] = max(dp[t][j-1],dp[t^1][j]); 35 } 36 } 37 } 38 39 int main() 40 { 41 scanf("%d",&len); 42 for(int i=1;i<=len;i++) 43 scanf("%d",&k), A[k] = i; 44 45 while(scanf("%d",&k)!=EOF) 46 { 47 B[k] = 1; 48 for(int i=2;i<=len;i++) 49 scanf("%d",&k), B[k] = i; 50 r = c = len; 51 LCS(); 52 printf("%d\n",dp[t][c]); 53 } 54 55 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/BigBallon/p/3708162.html
