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1. 青年问禅师: “大师, 我很爱我的女朋友, 她也有很多优点, 但是总有几个缺点让我非常讨厌, 有什么方法能让她改变？”
禅师浅笑, 答: “方法很简单, 不过若想我教你, 你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来. ” 青年略一沉吟, 掏出一个莫比乌斯环.
莫比乌斯环只有一面
2. 青年问禅师: “我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”
禅师若有所思地说: “你随手画一条曲线. 用放大镜放大了看. 它的周围难道不是十分明朗开阔吗？”
那个青年画了一条皮亚诺曲线.
皮亚诺曲线可以遍历单位正方形中所有的点, 是一条充满空间的曲线.
皮亚诺曲线
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线. 在传统概念中, 曲线的数维是1维, 正方形是2维. 1890年, 意大利数学家皮亚诺（Peano G）发明能填满一个正方形的曲线, 叫做皮亚诺曲线. 皮亚诺对区间 $[0, 1]$ 上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述. 实际上, 正方形的这些点对于$t\in [0, 1]$, 可规定两个连续函数$x=f(t)$ 和$y=g(t)$, 使得 $x$ 和$y$ 取属于单位正方形的每一个值. 后来, 希尔伯特作出了这条曲线
一般来说, 一维的东西是不可能填满2维的方格的. 但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.
这说明我们对维数的认识是有缺陷的, 有必要重新考察维数的定义. 这就是分形几何考虑的问题. 在分形几何中, 维数可以是分数叫做分维.
此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线. 因此如果我们想要研究传统意义上的曲线, 就必须加上可导的条件, 以便排除像皮亚诺曲线这样的特例.
3. 青年再问禅师: “我的头脑总是被这种繁杂的世俗所装满, 如何是好？”
禅师说: “你画一个没有瓶口的瓶子. 它总有一个尽头. 你不把它里面的东西倒出来, 怎么装新的进去?”
青年若有所思, 画了一个克莱因瓶.
Klein bottle
在数学领域中, 克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面, 比如2维平面, 就没有“内部”和“外部”之分. 克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的. 克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像. 克莱因瓶的结构非常简单, 一个瓶子底部有一个洞, 现在延长瓶子的颈部, 并且扭曲地进入瓶子内部, 然后和底部的洞相连接. 和我们平时用来喝水的杯子不一样, 这个物体没有“边”, 它的表面不会终结. 它也不类似于气球 , 一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）.
4. 青年问禅师: “我现在遇到了很多很多的困难和烦恼, 怎么办？”
禅师说: “你随手画一条曲线, 用放大镜放大了看, 它还有那么弯曲吗？”
那个青年画了一个魏尔斯特拉斯函数.
魏尔斯特拉斯函数连续但处处不可导, 也就是这货本来就没有“曲”的概念
一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的. 即使不可导, 所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分. 根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述, 早期的许多数学家, 包括高斯, 都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的. 这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事. 当我们绘制函数的图像时, 总会画出较为规则的图形, 例如满足利普希茨条件的函数图像.
魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数, 尽管这个名词当时还不存在. 将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大, 所得到的局部图都和整体图形相似. 因此, 无论如何放大, 函数图像都不会显得更加光滑, 也不存在单调的区间.
5. 青年问禅师: “我的心就像门一样, 她的离去, 将它关闭. 我可能无法再爱了. ”
禅师若有所思地说: “你看看这朵花, 多么地美丽. 美之前, 如何让心无法开朗？"
青年说: "恩. "
禅师继续说: “难道存在开的东西会是闭的么?.”
“空集”青年随口答道.
空集既是开集也是闭集
6. 青年问禅师: 我想要很多钱, 但是又不想付出, 你能教给我方法吗?
禅师微笑道: 可以, 但你能找到一样东西, 它无穷无尽, 但又不占任何地方吗?
青年默默地写了一个康托尔集.
康托尔集是个测度为0的集, 用简单的解析几何说法就是这函数图像面积为0
取一条长度为1的直线段, 将它三等分, 去掉中间一段, 留剩下两段, 再将剩下的两段再分别三等分, 各去掉中间一段, 剩下更短的四段, ……, 将这样的操作一直继续下去, 直至无穷, 由于在不断分割舍弃过程中, 所形成的线段数目越来越多, 长度越来越小, 在极限的情况下, 得到一个离散的点集, 称为康托尔点集, 记为 $P$. 称为康托尔点集的极限图形长度趋于$0$, 线段数目趋于无穷, 实际上相当于一个点集. 操作 $n$ 次后
边长$r=\sex{\cfrac{2}{3}}^n$,
边数$N(r)=2^n$,
根据公式$N(r)=\frac{1}{rD}$, $2n=3Dr$, $D=\cfrac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0.631$.
所以康托尔点集分数维是 $0.631$.
7. 青年问禅师: “大师, 我喜欢一个姑娘, 但是我和她相距千里她又不喜欢我?”
禅师浅笑, 答: “得不到的就是得不到, 这就是没有缘吧, 你和她像两个平行线永远没有交叉点. ”
青年略一沉吟, “黎曼几何.”
黎曼几何区别于欧几里得几何（即初高中学习的几何）. 欧氏几何、罗巴切夫斯机-鲍耶几何、黎曼几何, 这三种几何唯一的不同点就在于第五公设[平行公设（parallel postulate）, 也称为欧几里得第五公设, 因是《几何原本》五条公设的第五条而得名. 这是欧几里得几何一条与别不同的公理, 比前四条复杂. 公设是说: 如果一条直线与两条直线相交, 在某一侧的内角和小于两直角, 那么这两条直线在不断延伸后, 会在内角和小于两直角的一侧相交. ]的不同.
欧氏几何第五公设是指过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
罗氏几何则不同, 它规定了过直线外一点有无数条直线与已知直线平行. 这样三角形的内角和也就小于180度.
黎曼几何规定在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点). 在黎曼几何学中不承认平行线的存在, 它的另一条公设讲: 直线可以无限延长, 但总的长度是有限的. 黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面.
8. 禅师: “我觉得我在这个世界上是多余的, 没有人需要我. ”
禅师说: “就像你所学的数学, 无论怎样复杂艰深的函数, 都有适合的图形对应. 你只是还没找到那个图形而已. ”
青年沉思一番, 提笔写下了狄利克雷函数的解析式.
实数域上的狄利克雷(Dirichlet)函数表示为:
$$D(x)=\vlm{k}\sez{\vlm{j}\cos(k!\pi x)^{2j}},$$
可以简单地表示分段函数的形式
$$D(x)=\sedd{\ba{ll}1,&x\in\bbQ,\\0,&x\not\in\bbQ.\ea}$$
与魏尔斯特拉斯函数相同, 处处不可导, 处处不连续, 无法画出图像, 但是图像客观存在.
9. 青年问禅师:
“大师, 在单位, 他们总嫌我棱角太突出, 不合群!”
禅师掏出数根圆柱铺在地上, 在上面搁了一块木板, 并推动它, 说: “你看, 轮子合作一致才能保持所承载木板的平稳前进,你
能找到棱角突出的形状也让木板平稳前进吗?”
青年略一沉吟, 默默地掏出一个勒洛三角形.
勒洛三角形是定宽曲线, 用它来搬运东西, 不会发生上下抖动.
弧三角形, 又叫勒洛三角形, 是机械学家勒洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的;先画正三角, 然后分别以三个顶点为圆心, 边长长为半径画弧得到的三角形.
10. 青年: “大师, 我期末辛苦准备了很久成绩却还是不好, GPA降了好多, 有什么方法能让我GPA只升不降么？”
禅师浅笑, 答: “潮涨潮落, 月圆月缺, 这世上可有什么规律是一直增长却断然不会下降的？”
青年略一沉吟, 说“熵”.
熵只增不减的量.
1850年, 德国物理学家鲁道夫·克劳修斯首次提出熵的概念, 用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度, 能量分布得越均匀, 熵就越大. 一个体系的能量完全均匀分布时, 这个系统的熵就达到最大值. 在克劳修斯看来, 在一个系统中, 如果听任它自然发展, 那么, 能量差总是倾向于消除的. 让一个热物体同一个冷物体相接触, 热就会以下面所说的方式流动: 热物体将冷却, 冷物体将变热, 直到两个物体达到相同的温度为止. 克劳修斯在研究卡诺热机时, 根据卡诺定理得出了对任意可逆循环过程都适用的一个公式:
$$\rd S=\frac{\rd Q}{T}.$$
对于绝热过程 $Q=0$. 故$S\geq 0$,（因为 $Q$ 无变化, 系统处于无限趋于平衡状态, 熵会无限增大, 因为平衡状态是理想状态, 永远达不到, 为$\rd S>0$. ）即系统的熵在可逆绝热过程中不变, 在不可逆绝热过程中单调增大. 这就是熵增加原理. 由于孤立系统内部的一切变化与外界无关, 必然是绝热过程, 所以熵增加原理也可表为: 一个孤立系统的熵永远不会减少. 它表明随着孤立系统由非平衡态趋于平衡态, 其熵单调增大, 当系统达到平衡态时, 熵达到最大值. 熵的变化和最大值确定了孤立系统过程进行的方向和限度, 熵增加原理就是热力学第二定律.
11. 大师说: “理工科青年谢绝入内！”
青年忙辩白: “大师别介！我是学艺术的. ”大师松了一口气.
青年问: “大师, 怎样才能踏准人生前进的道路？”
大师笑说: “人生如阶梯, 若不往上走, 就会往下行. 你可画得出一个又上又下的楼梯么？”
青年想了想, 参照埃舍尔的风格画了一幅画.
埃舍尔的画以空间视错觉著称
12. 青年: 为什么在一次比赛中冠军和亚军都付出了同样的努力, 而人们只记住了冠军呢？
禅师: 我给你讲个人生哲学吧！
青年: 好！
禅师: 世界第一高峰是哪个？
青年: 珠穆朗玛峰！
禅师: 世界第二高峰呢？
青年: 乔戈里峰！
禅师: 第三高峰呢？
青年: 干城章嘉峰！
禅师: 第四高峰？
青年: 洛子峰
禅师: 第五？
青年: 马卡鲁峰
禅师: ……
青年: 哎, 说起来, 你刚才说想给我讲的人生哲学是什么啊？
禅师: ……
13. “我发现我的内心到处都是空虚, 怎么办?”
禅师说: “一块破烂不堪的布, 剪下其中的一小块, 不也是完好无缺的么?”
青年默默地掏出了一块谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯具有自相似性, 它和它本身的一部分完全相似. 减掉一块会破坏自相似性. 类似于雪花曲线, 越往里面看越密集. 谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形. 谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似, 不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造, 而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造...
14、青年人问大师: “四季循环, 昼夜更替, 为什么会有这种自然规律?”
大师微微思索道: “你看天上恒河沙数, 但它们都有自己既定的运行轨道. 但凡我们能够描述的事物, 都会有它自己的规律. ”
于是, 青年人在沙地上写出了薛定谔方程.
薛定谔方程表明量子力学中, 粒子以概率的方式出现, 没有规律.
一维薛定谔方程
$$-\frac{\hbar}{2\mu}\frac{\p^2 \Psi(x,t)}{\p x^2}+U(x,t)\Psi(x,t)=i\hbar \frac{\p \Psi(x,t)}{\p t};$$
三维薛定谔方程
$$-\frac{\hbar}{2\mu}\sex{\frac{\p^2 \Psi(x,t)}{\p x^2}+\frac{\p^2 \Psi(x,t)}{\p y^2}+\frac{\p^2 \Psi(x,t)}{\p z^2}}+U(x,t)\Psi(x,t)=i\hbar \frac{\p \Psi(x,t)}{\p t},$$
其中, $\Psi(x,y,z)$ 是待求函数, 它是 $x,y,z$ 三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数, 也可能是虚数）.
15. 青年问禅师: “我工作很努力, 但事业上却没有一点成就, 怎么办?”
禅师说: “九十度很热, 但这样的水温, 能让水沸腾吗?”
青年幽幽的说: “我的故乡在在西藏. ”
海拔高处沸点低.
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