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无穷小和无穷大

时间：2015-10-17 16:11:20 阅读：201 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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1. 无穷小就是无穷小量

初学者应当注意的是，无穷小量是极限为0的变量而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如

在

时是无穷小量，而不能笼统说

是无穷小量。也不能说无穷小是

，

是指负无穷大。

无穷小量通常用小写希腊字母表示，如α、β、ε等，有时候也用α（x）、ο（x）[1] 等，表示无穷小量是以x为自变量的函数。

为

或

对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数

（或正数

）使得不等式

（或

）的一切

对应的函数值

都满足不等式

，则称函数

为当

（或

）时的无穷小量。记做：

（或

）。

注意：

1.无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2.零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3.无穷小量与自变量的趋势相关。

若函数

在某

的空心邻域内有界，则称g为当

时的有界量。

例如

，都是当

时的无穷小量，

是当

时的无穷小量，而

为

时的有界量，

是当

时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。

由无穷小量的定义可以推出以下性质：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷大编辑

有了无穷小量的概念，自然会联想到无穷大的概念，什么是无穷大呢？

当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称

为当

时的无穷大。记作

。

同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。

阶的比较编辑

前提条件

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

首先规定

都为

时的无穷小，

在某

的空心邻域恒不为0。

高低阶无穷小量

，则称当

时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。

记做

(

)

特别的，f为当

时的无穷小量记作

(

)

同阶无穷小量

当

（c≠0）时，ƒ和ɡ为

时的同阶无穷小量。

当x→0时的同阶无穷小量：

与

;

与

等价无穷小量

，则称ƒ和ɡ是当

时的等价无穷小量，记做：

（

）

等价无穷小量应用最广泛，常见的有
　　当x→0时，

，

，

（

）

2. 无穷大

无穷大量就是在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量或函数。

例如

，是当

时的无穷大，记作+∞ 。

分类

无穷大分为正无穷大、负无穷大，分别记作+∞、-∞ ，非常广泛的应用于数学当中。

性质

两个无穷大量之和不一定是无穷大；

有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；

有限个无穷大量之积一定是无穷大。

另外，一个数列不是无穷大量，不代表它就是有界的（如，数列1，1/2，3，1/3，……）。

无穷级数

对于发散至正无穷大（或负无穷大）的无穷级数

，我们也记作

（或

）

例：

调和级数：

更一般地，对于p级数，

时有

素数的倒数之和：

无穷小和无穷大

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原文地址：http://www.cnblogs.com/htmlphp/p/4887585.html

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