一道积分不等式

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设$f(x)$为$R$上的正值连续函数，若对$\forall t\in R$，有$\int_R$$e^{-\mid t-x\mid}f(x)dx$$\leq$$1$，证明：对$\forall a,b \in R(a<b)$，有$\int_a^bf(x)dx$$\leq$$\frac{b-a}{2}+1$

证明：记$F(t)=$$\int_a^b$$e^{-\mid t-x\mid}f(x)dx$，从而$\int_a^bF(t)dt$$=$$\int_a^bf(x)dx$$\int_a^b$$e^{-\mid t-x\mid}f(x)dt$；

也即$\int_a^bF(t)dt$$=$$\int_a^bf(x)[2-e^{a-x}-e^{x-b}]dx$；

注意到$F(t)$$\leq1$，从而$\int_a^bf(x)[2-e^{a-x}-e^{x-b}]dx$$\leq$$b-a$；

整理得：$\int_a^bf(x)dx$$\leq$$\frac{b-a}{2}$$+$$\frac{1}{2}$$\int_a^b$$e^{-\mid a-x\mid}f(x)dx$$+$$\frac{1}{2}$$\int_a^b$$e^{-\mid b-x\mid}f(x)dx$;

即$\int_a^bf(x)dx$$\leq$$\frac{b-a}{2}+1$得证

一道积分不等式

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