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我们先从$Lagrange$中值定理的证明谈起。
几乎所有的数学类教材（比如高等数学、数学分析）在证明这个定理时，利用了几何意义构造出函数$\varphi(x)$$=$$f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。然后利用$rolle$定理进行证明。
自然，面对一道证明题，尤其是中值定理证明题，很少有人会去想到几何意义。从某种意义上说，这种方法不值得推广，难道每一道题都去这样考虑？实际上很多证明题都不可能找到几何意义来说明。
现在我们尝试利用理论分析构造合适的辅助函数，为此，我们先将$Lagrange$中值定理进行重述：
设函数$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，则$\exists \xi$$\in$$(a,b)$，使得$f‘(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
为了证明这个等式成立，我们不妨考虑$f‘(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，将其看为一个微分方程，易算得$f(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+C$
解出$C=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$。故我们取辅助函数为$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$（为什么？因为常数求导为零！所以我们才会将$C$解出，令其为一个函数！）
读者不妨尝试计算$F(a)$与$F(b)$，它们显然相等，从而命题获证！
从上面的过程中我们可以看到，构造函数的过程完全是利用微分方程，这即是本文所论述的方法。大多数辅导书籍构造函数后都没有说明原因，因此就会让读者误以为是“灵机一动”想出来的，是一种“神奇”的东西，实则不然。为了更好的理解这种方法，我们再看一例。
设函数$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导,其中$a>0$且$f(a)=0$，试证明：$\exists \xi$$\in$$(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{b-\xi}{a}f‘(\xi)$
证明：我们还是将其看为一个微分方程：$f(x)=\frac{b-x}{a}f‘(x)$，易算得$f(x)=C(b-x)^{-a}$。解出$C$，并令其为$F(x)$，我们即找到了辅助函数：$F(x)=f(x)(b-x)^{a}$！
容易验证，$F(a)=F(b)=0$，然后利用$rolle$定理即可获证。
事实上，这一类问题均可用微分方程手段处理，故重点还是要会求解微分方程
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原文地址：http://www.cnblogs.com/mathyang/p/4890391.html
