棋盘覆盖问题

标签：算法   棋盘覆盖   递归分治   

在一个 2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其它方格不同，则称该方格为一特殊方格，称该棋盘为一特殊棋盘。显然特殊方格在棋盘上出现的位置有 4^k 种情形。因而对任何 k>=0 ，有 4^k 种不同的特殊棋盘。下图所示的特殊棋盘为 k=2 时 16 个特殊棋盘中的一个。

在棋盘覆盖问题中，要用下图中 4 中不同形态的 L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个 2^k * 2^k 的棋盘中，用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。

用分治策略，可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法。
当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘，如下图所示。

特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用 这种分割，直至棋盘简化为 1x1 棋盘。

// 棋盘覆盖问题

#include<iostream>

using namespace std;

int Board[16][16];
int tile=0; 
int ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){
	if(size == 1)
		return 0;
	int t=tile++,s=size/2;

	// 左上
	if(dr<tr+s && dc<tc+s)
		ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
		ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
	}

	// 右上
	if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s][tc+s-1]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
	}

	// 左下
	if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s-1][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
	}

	// 右下
	if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
	}
}

int main(){
	ChessBoard(0,0,3,2,16);
	for(int i=0;i<16;i++){
		for(int j=0;j<16;j++)
			cout<<Board[i][j]<<"\t";
		cout<<endl;
		cout<<endl;
	}
}

棋盘覆盖问题

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原文地址：http://javavwv.blog.51cto.com/8832079/1704101