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欧几里德算法： 即求两个整数的最大公约数的一种快捷算法。也就是通常所说的“辗转相除法”。给定两个整数 a， b。欧几里德最坏可以在log（max（|a|， |b|））的复杂度内求出a， b的最大公约数。时间复杂度的计算方法也很有意思， 详见《算法导论》。
证明欧几里德算法的正确性：
a可以表示成a = kb + r，且 r = a mod b
我们要证明欧几里德算法的正确性
也即是证明 gcd（a， b） = gcd（b, a%b=r）
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。
欧几里德得证！！！
代码：
int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; }
扩展欧几里德算法： 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
证明： （对 x和y的解释）
void extend_gcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y) { if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { extend_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); } }
扩展欧几里德的应用： 主要用于求解不定方程， 解模线性方程（即： 线性同余方程）， 用于求逆元等。
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
(2) 求解模线性方程：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x‘(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x‘(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax‘ = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
当然这些定理的证明在《算法导论》都有， 但是导论是以严格的数学逻辑和语言来推理的， 精准而优雅， 但是很遗憾， 不适合数学基础差的人阅读。
(3) 逆元， 很显然， 在 ax - ny = b 中， 当 b = 1时。 ax = 1（mod n）。这时： 解（x）， 称为 a 关于模 n 的逆。 类似于实数运算中“倒数”的概念。
方程： ax - ny = 1. 有解， 很显然， 1 必须是gcd（a， n）的倍数（扩展欧几里德）。因此 a， n互素。 所以： ax = 1（mod n）只有唯一解。
ps： 同余方程的解是指一个等价类。
沉淀中， 待续~~~~。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/acm1314/p/4899194.html
