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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 一. 预备知识

时间:2015-10-27 15:11:33      阅读:1137      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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    这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

 

 

本课程学习路线:

从傅里叶级数开始,后续过渡到傅里叶变换。

 

扼要描述

  • 傅里叶级数(fourier series),几乎等同于周期性现象的学习。
  • 傅里叶变换(fourier transform),可作为傅里叶级数的极限情况,是对非周期性现象的数学分析。

 

两者间的共同点

  • 分析(analysis),分解一个信号(函数),把它拆分成一系列组成部分,并希望这些组成部分比复杂的原始信号(函数)简单。
  • 合成(synthesis),把基本的组成部分重组成信号本身。

分析与合成总是成对出现,我们把复杂的信号分离成简单信号,然后进行我们需要的处理,最后再组合成原始信号。

 

线性运算

傅里叶分析与合成是由线性运算完成的,线性运算包含有积分和序列。傅里叶分析经常被认为是线性分析的一部分。

 

周期性现象

周期性现象有两种:

  • 时间上的周期性
  • 空间上的周期性

 

对称性与周期性的关系

例:圆环上的热量分布

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在这个例子里面认为温度不受时间影响,温度与圆环的位置有关。

我们从圆环上的某点A测试圆环的温度,然后沿着顺时针方向一直测试,最终又会回到A点继续顺时针测试温度,这样我们就能得到呈现周期性的温度值。

从上述测试我们可以得到初步结果:

目标(圆环)重复--->目标对称--->相关值的周期性

 

这里引出一个论点:傅里叶分析通常与具有对称性问题相关

 

周期性

  • 在时域上,用频率(frequency)表达。
  • 在空域上,用周期(period)表达。

 

两者有时会一起出现,如波动(wave motion)。

一个规则的波动含有波长($\lambda$)与频率($\vartheta$)属性。

  • 波长,即某一时间点,一个完整波扰动的长度。
  • 频率,1秒内出现波扰动的次数。

两者有以下关系:

设波的传播速度为$v$,有

$v = \lambda \cdot \vartheta $

波长与频率成反比例关系。在很多情况下,这种反比例关系能应用到傅里叶分析的复杂情况。

 

数学的引入

由于数学上有$sin$,$cos$,可以通过这些简单的表达式来表示周期性现象。

$cos(T+2\pi) = cos(T)$

为什么$sin$、$cos$能表达空间上的周期性呢?因为$sin$与$cos$分别为单位圆的纵、横坐标,而圆在空间上市重复的对称的,走过一圈后会回到原点。

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原文地址:http://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/4913979.html

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